2015上海高考理科数学真题及答案

2015 上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分． 1．（4 分）设全集 U=R．若集合 Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩∁UΒ= ． 2．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 3．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为 解为 4．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ． ，则 c1﹣cc2= ，则 a= ． ． 5．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= ． 6．（4 分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7．（4 分）方程 log2（9x﹣c1﹣c5）=log2（3x﹣c1﹣c2）+2 的解为 ． 8．（4 分）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女 教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9．已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为 双曲线 C1 和 C2．若 C1 的渐近线方程为 y=± x，则 C2 的渐近线方程为 ． 10．（4 分）设 f﹣c1 （x）为 f（x）=2x﹣c2+ ，x∈[0，2]的反函数，则 y=f（x）+f﹣c （x）的最大值为 1 11．（4 分）在（1+x+ ． ） 10 的展开式中，x2 项的系数为 （结果用数值表 示）． 12．（4 分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的 卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再 随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）． 若 随 机 变 量 ξ1 和 ξ2 分 别 表 示 赌 客 在 一 局 赌 博 中 的 赌 金 和 奖 金 ， 则 Eξξ1﹣cEξξ2= （元）． 1 13．（4 分）已知函数 f（x）=sinx．若存在 x1 ，x2 ，…，xm 满足 0≤x1 ＜x2 ＜…＜ xm≤6π ， 且 |f （ x1 ） ﹣c f （ x2 ） |+|f （ x2 ） ﹣c f （ x3 ） |+…+|f （ xm﹣c1 ） ﹣c f （ xm ） | =12（m≥2，m∈N*），则 m 的最小值为 ． 14．在锐角三角形 A BC 中，tanA= ，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分 别为 2 和 4．过 D 作 D Eξ⊥A B 于 Eξ，DF⊥AC 于 F，则 • = ． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 15 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．（5 分）设 z1 ，z2∈C，则“z1 、z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1﹣cz2 是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）已知点 A 的坐标为（4 OB，则点 B 的纵坐标为（ A． ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 ） B． C． D． 17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中 a1，a2，a3 是正实数．当 a1，a2，a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实 根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 18．（5 分）设 Pn（xn，yn）是直线 2x﹣cy= 交点，则极限 A．﹣c1 2 =（ B．﹣c （n∈N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的 ） C．1 D．2 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19．（12 分）如图，在长方体 ABCD﹣cA1B1C1D1 中，AA1=1，AB=AD=2，Eξ、F 分别 是 AB、BC 的中点，证明 A1、C1、F、Eξ 四点共面，并求直线 CD1 与平面 A1C1FEξ 所成 的角的大小． 20．（14 分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米． 现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（t） （单位：千米）．甲的路线是 AB，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ACB，速度为 8 千 米/小时．乙到达 B 地后原地等待．设 t=t1 时乙到达 C 地． （1）求 t1 与 f（t1）的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 t1≤t≤1 时，求 f（t）的表达式，并 判断 f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过 3？说明理由． 3 21．（14 分）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得到的平行四边形 ACBD 的面积为 S． （1）设 A（x1，y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S=2|x1y2﹣cx2y1|； （2）设 l1 与 l2 的斜率之积为﹣c ，求面积 S 的值． 22．（16 分）已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣can=2（bn+1﹣cbn），n∈N*． （1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列{an}的通项公式； （2）设{an}的第 n0 项是最大项，即 a ≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第 n0 项是 最大项； （3）设 a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求 λ 的取值范围，使得{an}有最大值 M 与最小值 m，且 ∈（﹣c2，2）． 4 23．（18 分）对于定义域为 R 的函数 g（x），若存在正常数 T，使得 cosg（x）是以 T 为周期的函数，则称 g（x）为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f（x）是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 f（x）单调递增， f（0）=0，f（T）=4π． （1）验证 g（x）=x+sin 是以 6π 为周期的余弦周期函数； （2）设 a＜b，证明对任意 c∈[f（a），f（b）]，存在 x0∈[a，b]，使得 f（x0）=c； （3）证明：“u0 为方程 cosf（x）=1 在[0，T]上得解，”的充要条件是“ u0+T 为方程 cosf （ x ） =1 在 区 间 [T ， 2T] 上 的 解 ” ， 并 证 明 对 任 意 x∈[0 ， T] ， 都 有 f（x+T）=f（x）+f（T）． 5