2015年山西高考文科数学试题及答案

2015 年山西高考文科数学试题及答案 一、选择题：每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A {x x 3n  2, n  N }, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A  B 中的元素个数为（ （A） 5 【答案】D （B）4 （C）3 ）. （D）2 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章 《集合》中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班 中有对集合相关知识的总结讲解. 2、已知点   A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC ( 4,  3) ，则向量 BC  （ ）. （A） ( 7,  4) （B） （C） (7, 4) ( 1, 4) （D） (1, 4) 【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章《平面向量》有详 细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相 关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。 3、已知复数 满足 z ( z  1)i 1  i （A）  2  i ，则 （ z （B）  2  i ）. （C） 2  i （D） 2  i 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其 中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解。 4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ （A） 3 10 （B） 1 5 （C） 1 10 1, 2,3, 4,5 中任取 ）. （D） 1 20 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中 第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对 概率相关知识的总结讲解。 5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 的准线与 E 的两个交点，则 AB （ （A） 3 （B） 6 1 ，E 的右焦点与抛物线 C : y 2 8 x 的焦点重合， A, B 是 C 2 ）. （C） 9 （D） 12 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲 线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物 线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的 弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）. （A） 14 斛 （B） 22 斛 （C） 36 斛 （D） 66 斛 【答案】B 【难度】中等 【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章《立体几何》有详 细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。 7、已知 （A） {an } 是公差为 1 的等差数列， 17 2 （B） 19 2 Sn （C） 10 为 {an } 的前 项和，若 n S8 4S 4 ，则 （ a10  ）. （D） 12 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有 详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。 8、函数 f ( x ) cos( x   ) 的部分图像如图所示，则 1 3 , k  ), k  Z 4 4 1 3 （B） (2k  , 2k  ), k  Z 4 4 1 3 （C） ( k  , k  ), k  Z 4 4 1 3 （D） (2k  , 2k  ), k  Z 4 4 （A） (k  f ( x) 的单调递减区间为（ ）. 【答案】D 【难度】容易 【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有 详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。 9、执行右面的程序框图，如果输入的 t 0.01 ，则输出的 n （ （A） 5 （B） 6 （C） 10 （D） 12 ）. 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查程序图。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中 第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。 10、已知函数 f ( x)  2  x 1  2, x 1 ，且 f (a)  3 ，则 f (6  a ) （ ）.   log 2 ( x  1), x  1 4 7 5 （B）  4 3 （C）  4 1 （D）  4 （A）  【答案】A 【难度】较难 【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详细讲解， 在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 第 II 卷 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和 俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16  20 ，则 r＝（ ）. （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 8 【答案】B 【难度】中等 【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《几何体 的直观图与三视图》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解， 有几乎一致的题目解析。 12、设函数 y  f ( x) ）. （A）  1 【答案】C 的图像与 y 2 x a 的图像关于直线 y  x 对称，且 ，则 a＝ f ( 2)  f ( 4) 1 （ （B） 1 （C） 2 （D） 4 【难度】中等 【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章《函数》有详细 讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、数列 a 中 a 2, a 2a , S 为 a 的前 n 项和，若 S 126 ，则 n   n 1  n n 1 n n n . 【答案】6 【难度】容易 【点评】本题考查等比数列的性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有 详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。 14.已知函数 f x ax 3  x  1 的图像在点 1, f 1 的处的切线过点 2, 7 ，则 a          . 【答案】1 【难度】容易 【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有 详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。  x  y  2 0 15. 若 x,y 满足约束条件   x  2 y  1 0 ,则 z＝3x＋y 的最大值为  2 x  y  2 0  ． 【答案】4 【难度】中等 【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座 2，第五章《不等式》有详细讲解。在 高考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。 16.已知 P 是双曲线 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 周长最小时， y2 A 0, 6 6 APF C:x  1 8 该三角形的面积为 【答案】  2  ． 12 6 【难度】较难 【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲线与 方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相 关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。 三、解答题 17. （本小题满分 12 分）已知 （I）若 a b （II）若 ，求 B 90 a , b, c 分别是 cos B; ，且 求 a  2, ABC 【答案】（I）由题设及正弦定理可得 的面积. b 2 ac 又 a＝b，可得 b＝2c,a＝2c. a 2  c2  b2 1 . cos B   2ac 4 由余弦定理可得 （II）由（I）知 b 2 ac . 因为 B＝90°，由勾股定理得 故 a 2  c 2 2ac ，得 a 2  c 2 b 2 c a  2 所以，△ABC 的面积为 1. 【难度】容易 ABC . . . 内角 A, B, C 的对边， sin 2 B 2sin A sin C .