2015山东高考理科数学真题及答案

2015 山东高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷（共Ⅰ卷（共卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015 年山东，理 1】已知集合 {x | x 2  4 x  3  0} ， B {x | 2  x  4} ，则 A  B （ ） （A）  1,3 （B）  1, 4  （2）【2015 年山东，理 2】若复数 z 满足 （A） 1  i （B） 1  i （C）  2,3 z i ，其中 i 是虚数单位，则 z （ ） 1 i （C）  1  i （3）【2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin(4 x  （A）向左平移 （D）  2, 4  （D）  1  i  ) 的图象，只需将函数 y sin 4 x 的图像（ ） 3     个单位（B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位 12 12 3 3 （4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ ）  （A）  3 2 a 2 （B）  3 2 a 4 3 （C） a 2 4 3 （D） a 2 2 （5）【2015 年山东，理 5】不等式 | x  1|  | x  5 | 2 的解集是（ ） （A） ( , 4) （B） ( ,1) （C） (1, 4) （D） (1,5)  x  y 0  x , y （6）【2015 年山东，理 6】已知 满足约束条件  x  y 2 若 z ax  y 的最大值为 4，则 a （ ）  y 0  （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3  （7）【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC  ， AD / / BC ， BC 2 AD 2 AB 2 ．将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 5 3 （D） 2 （8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N (0,32 ) ，从中随机取一 件 ， 其 长 度 误 差 落 在 区 间  3, 6  内 的 概 率 为 （ ） （ 附 ： 若 随 机 变 量  服 从 正 态 分 布 N ( , 2 ) ， 则 P(         ) 68.26% ， P(   2      2 ) 95.44% ） （A） 4.56% （B） 13.59% （C） 27.18% （D） 31.74% （9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2,  3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x  3)2  ( y  2) 2 1 相切，则反射光 线 所在的直线的斜率为（ ） （A）  ;.. 5 3 或 3 5 （B）  3 2 或 2 3 （C）  5 4 或 4 5 （D）  4 3 或 3 4  3x  1, x  1, （10）【2015 年山东，理 10】设函数 f ( x)  x 则满足 f ( f (a )) 2 f ( a ) 的取值范围是（ ） x 1. 2 , 2 （A） [ ,1] 3 （B） [0,1] 2 （C） [ , ) 3 （D） [1, ) 第Ⅰ卷（共 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分 （11）【2015 年山东，理 11】观察下列各式： C10 40 ; C30  C31 41 ; 照此规律，当 n  N * 时， C20n  1  C21n  1  C22n  1    C2nn 11  C50  C51  C52 42 ; C70  C71  C72  C73 43 ;   （12）【2015 年山东，理 12】若“ x  [0, ], tan x m ”是真命题，则实数 m 的最小值为 4 （13）【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为 ． ． ． （14）【2015 年山东，理 14】已知函数 f ( x) a x  b (a  0, a 1) 的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则 a  b  ． （15）【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1 : x2 y 2  1( a  0, b  0) 的渐近线与抛物线 a2 b2 C2 : x 2 2 py ( p  0) 交于点 O, A, B ，若 OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 ． 三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．  （16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设 f ( x) sin x cos x  cos 2 ( x  ) ． 4 （Ⅰ卷（共）求 f ( x) 的单调区间； A （Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 f ( ) 0, a 1 ，求 ABC 面积． 2 ;.. （17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF  ABC 中， AB 2 DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点． （Ⅰ卷（共）求证： BD / / 平面 FGH ； （Ⅱ）若 CF  平面 ABC ， AB  BC , CF DE , BAC 45 ，求平面 FGH 与平 面 ACFD 所成角（锐角）的大小． （18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12 分）设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 2 S n 3n  3 ． （Ⅰ卷（共）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）若数列 {bn } 满足 an bn log 3 an ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ． （19）【2015 年山东，理 19】（本小题满分 12 分）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字， 十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中， 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三 位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分； 若能被 10 整除，得 1 分． （Ⅰ卷（共）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX ． （ 20 ） 【 2015 年 山 东 ， 理 20 】 （ 本 小 题 满 分 13 分 ） 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 C: x2 y 2 3  2 1( a  b  0) 的离心率为 ，左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以 F2 2 a b 2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上． （Ⅰ卷（共）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设椭圆 E : x2 y2  1 ， P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y kx  m 交椭圆 E 于 A, B 两 4a 2 4b 2 点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ． （i）求 | OQ | 的值；（ii）求 ABQ 面积最大值． | OP | （21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数 f ( x) ln( x  1)  a( x 2  x) ，其中 a  R ． （Ⅰ卷（共）讨论函数 f ( x ) 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若 x  0 ， f ( x) 0 成立，求 a 的取值范围． ;.. 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共Ⅰ卷（共卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015 年山东，理 1】已知集合 {x | x 2  4 x  3  0} ， B {x | 2  x  4} ，则 A  B （ ） （A）  1,3 （B）  1, 4  （C）  2,3 （D）  2, 4  【答案】C 【解析】 A {x | x 2  4 x  3  0} {x |1  x  3} ， A  B (2,3) ，故选 C． （2）【2015 年山东，理 2】若复数 z 满足 （A） 1  i （B） 1  i z i ，其中 i 是虚数单位，则 z （ ） 1 i （C）  1  i （D）  1  i 【答案】A 【解析】 z (1  i)i  i 2  i 1  i ， z 1  i ，故选 A． （3）【2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin(4 x  （A）向左平移  ) 的图象，只需将函数 y sin 4 x 的图像（ ） 3     个单位（B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位 12 12 3 3 【答案】B 【解析】 y sin 4( x    ) ，只需将函数 y sin 4 x 的图像向右平移 个单位，故选 B． 12 12 （4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则  （A）  3 2 a 2 （B）  3 2 a 4 3 （C） a 2 4 =（ ） 3 （D） a 2 2 【答案】D 【解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 可知 BAD 180  60 120 ，         2 3 BD CD ( AD  AB) ( AB)  AB AD  AB  a a cos120  a 2  a 2 ，故选 D． 2 （5）【2015 年山东，理 5】不等式 | x  1|  | x  5 | 2 的解集是（ ） （A） ( , 4) （B） ( ,1) （C） (1, 4) （D） (1,5) 【答案】A 【解析】当 x  1 时， 1  x  (5  x)  4  2 成立；当 1  x  5 时， x  1  (5  x) 2 x  6  2 ，解得 x  4 ，则 1  x  4 ；当 x 5 时， x  1  ( x  5) 4  2 不成立．综上 x  4 ，故选 A．  x  y 0  （6）【2015 年山东，理 6】已知 x, y 满足约束条件  x  y 2 若 z ax  y 的最大值为 4，则 a （ ）  y 0  ;.. （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】由 z ax  y 得 y  ax  z ，借助图形可知：当  a 1 ，即 a  1 时在 x  y 0 时有最大值 0，不符合 题 意 ； 当 0  a  1 ， 即  1  a 0 时 在 x  y 1 时 有 最 大 值 a  1 4, a 3 ， 不 满 足  1  a 0 ； 当  1   a 0 ， 即 0  a 1 时 在 x  y 1 时 有 最 大 值 a  1 4, a 3 ， 不 满 足 0  a 1 ； 当  a   1 ， 即 a  1 时在 x 2, y 0 时有最大值 2a 4, a 2 ，满足 a  1 ，故选 B．  （7）【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC  ， AD / / BC ， BC 2 AD 2 AB 2 ．将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 5 3 （D） 2 【答案】C 【解析】 V  12 2  1 5  12 1  ，故选 C． 3 3 （8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N (0,32 ) ，从中随机取一 件 ， 其 长 度 误 差 落 在 区 间  3, 6  内 的 概 率 为 （ ） （ 附 ： 若 随 机 变 量  服 从 正 态 分 布 N ( , 2 ) ， 则 P(         ) 68.26% ， P(   2      2 ) 95.44% ） （A） 4.56% （B） 13.59% （C） 27.18% （D） 31.74% 【答案】D 1 【解析】 P(3    6)  (95.44%  68.26%) 13.59% ，故选 D． 2 （9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2,  3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x  3)2  ( y  2) 2 1 相切，则反射光 线 所在的直线的斜率为（ ） （A）  5 3 或 3 5 （B）  3 2 或 2 3 （C）  5 4 或 4 5 （D）  4 3 或 3 4 【答案】D 【解析】 ( 2,  3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2,  3) ，设反射光线所在直线为 y  3 k ( x  2), 即 kx  y  2k  3 0 ， 则d  |  3k  2  2k  3 | 2 k 1 1,| 5k  5 | k 2  1 ，解得 k  4 或  3 ，故选 D． 3 4  3x  1, x  1, （10）【2015 年山东，理 10】设函数 f ( x)  x 则满足 f ( f (a)) 2 f ( a ) 的取值范围是（ ） x 1. 2 , 2 （A） [ ,1] 3 【答案】C ;.. （B） [0,1] 2 （C） [ , ) 3 （D） [1, )