2018内蒙古高考文科数学真题及答案

2018 内蒙古高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1． i  2  3i   A． 3  2i B． 3  2i C．  3  2i D．  3  2i 2．已知集合 A  1,3,5, 7 ， B  2,3, 4,5 ，则 A  B  A．  3 B．  5 3．函数 f  x   C．  3,5 D．  1, 2,3, 4,5, 7 e x  e x 的图像大致为 x2 4．已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b  1 ，则 a (2a  b)  A．4 B．3 C．2 D．0 5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概 率为 A． 0.6 6．双曲线 B． 0.5 C． 0.4 D． 0.3 x2 y 2  1 (a  0, b  0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a 2 b2 A． y  2 x B． y  3x 7．在 △ ABC 中， cos A． 4 2 8．为计算 S 1  C． y  2 x 2 D． y  3 x 2 C 5  ， BC 1 ， AC 5 ，则 AB  2 5 B． 30 C． 29 D． 2 5 1 1 1 1 1      ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 2 3 4 99 100 开始 N 0, T 0 i 1 是 i  100 否 1 i S N  T 1 i 1 输出S N N  T T  结束 A． i i  1 B． i i  2 C． i i  3 D． i i  4 9．在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正 切值为 A． 2 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 10．若 f ( x) cos x  sin x 在 [0, a] 是减函数，则 a 的最大值是 A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 11．已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1  PF2 ，且 PF2 F1 60 ， 则 C 的离心率为 A． 1  3 2 B． 2  3 C． 31 2 D． 3  1 12．已知 f ( x) 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 f (1  x)  f (1  x) ．若 f (1) 2 ，则 f (1)  f (2)  f (3)   f (50)  A．  50 B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。、 13．曲线 y 2ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________．  x  2 y  5 ≥ 0,  x , y 14．若 满足约束条件  x  2 y  3 ≥ 0, 则 z x  y 的最大值为__________．  x  5 ≤ 0,  15．已知 tan(α  5π 1 )  ，则 tan α __________． 4 5 16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30 ，若 △ SAB 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 记 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 a1  7 ， S3  15 ． （1）求 {an } 的通项公式； （2）求 S n ，并求 Sn 的最小值． 18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回 归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2,  ,17 ）建立模 型①： yˆ  30.4  13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2,  , 7 ）建立模型②： yˆ 99  17.5t ． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12 分） 如图，在三棱锥 P  ABC 中， AB BC 2 2 ， PA PB PC  AC 4 ， O 为 AC 的 中点． （1）证明： PO  平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC 2MB ，求点 C 到平面 POM 的距离． 20．（12 分） 设抛物线 C：y 2 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k  0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两 点， | AB | 8 ． （1）求 l 的方程 （2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 21．（12 分） 1 已知函数 f  x   x3  a x 2  x  1 ． 3   （1）若 a 3 ，求 f ( x) 的单调区间； （2）证明： f ( x) 只有一个零点． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）  x 2 cos θ , 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为  （ θ 为参数），直线 l 的参数  y 4sin θ  x 1  t cos α, 方程为  （ t 为参数）．  y 2  t sin α （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设函数 f ( x ) 5  | x  a |  | x  2 | ． （1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) ≥ 0 的解集； （2）若 f ( x) ≤ 1 ，求 a 的取值范围． 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 8．B 9．C 10．C 11．D 6．A 7．A 12．C 二、填空题 13．y=2x–2 14．9 15． 3 2 16．8π 三、解答题 17．解： （1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15． 由 a1=–7 得 d=2． 所以{an}的通项公式为 an=2n–9． （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16． 18．解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 $y =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 $y =99+17.5×9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不 能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设 施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这