2015江苏高考数学真题及答案

2015 江苏高考数学真题及答案 一、填空题 1.已知集合 A  1，， 4 5 ，则集合 A  B 中元素的个数为_______.  2 3 ， B  2，， 2.已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 2 （i 是虚数单位），则 z 的模为_______. z 3  4i 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球， 则这 2 只球颜色不同的概率为________.  6.已知向量 a  2，1 ， a  1， 2 ，若 ma  nb  9，  8 mn  R ，则 m-n 的值为______.        7.不等式 2x 2 x 4 的解集为________. 1 7 8.已知 tan   2 ， tan       ，则 tan  的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将它们重新 制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中， xOy (1,0) 半径最大的圆的标准方程为 11.数列 {an } 满足 a1 1 12.在平面直角坐标系 。 ，且 xOy mx  y  2m  1 0(m  R) an 1  an n  1 中， P 为双曲线 距离对 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 （ n N* ），则数列 { 1 } 的前 10 项和为 x 2  y 2 1 。 an 右支上的一个动点。若点 P 到直线 x  y  1 0 。 0,0  x 1 ，则方程 | f ( x)  g ( x) |1 实根的个数为 2 | x  4 |  2, x  1 13.已知函数 f ( x) | ln x | ， g ( x)   14.设向量 ak (cos 的 12 k k k ，则 的值为 (ak ak 1 ) , sin  cos )(k 0,1,2, ,12)  6 6 6 k 0 。 。 15.在 中，已知 V ABC AB 2, AC 3, A 60o. (1)求 BC 的长； （2）求 sin 2C 的值。 16. 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC  A1B1C1 中，已知 AC  BC , BC CC1 .设 AB1 的中点为 D， B1C  BC1 E . 求证：（1） (2) DE / / 平面AA1CC1 BC1  AB1 17.（本小题满分 14 分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的 山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 别为 20 千米和 2.5 千米，以 合函数 y  l 1，l2 l 1，l2 l 1，l2 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1，l2 的距离分 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符 a （其中 a，b 为常数）模型. x b 2 （I）求 a，b 的值； （II）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. ① 请写出公路 l 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域；   ② 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2 a2  y2 的离心率为 2 ，且右焦点 F 到左准 1 a  b  0  2 b 2 线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 19. 已知函数 f ( x )  x 3  ax 2  b(a, b  R) （1）试讨论 （2）若 f (x) b c  a 。 的单调性； （实数 c 是 a 与无关的常数），当函数 f (x) 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是 3 3 (  , 3) (1, ) ( ,) ，求 c 的值。 2 2 20.设 a1 , a2 , a3 , a4 （1）证明： 是各项为正数且公差为 d 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2 a4 (d 0) 的等差数列 依次成等比数列 （2）是否存在 a1 , d ，使得 a1 , a2 2 , a33 , a4 4 依次成等比数列，并说明理由 （3）是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ，使得 a1n , a2 n k , a3n 3k , a4 n 5k 依次成等比数列，并说明理由 附加题 21、（选择题）本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做， 则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、  选修 4-1：几何证明选讲  （本小题满分 10 分） 如图，在 ABC 中， AB  AC ， ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证： ABD  AEB B、  选修 4-2：矩阵与变换  （本小题满分 10 分） 已知 x, y  R ，向量   1  是矩阵 A  x      1 1 的属性特征值  2 的一个特征向量，矩阵 A 以及它的另  y 0   一个特征值。 C.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知圆 C 的极坐标方程为  2  2 2  sin(   )  4 0 ，求圆 C 的半径. 4 D．[选修 4-5：不等式选讲] 解不等式 x  | 2 x  3 |3 22.如图，在四棱锥 P  ABCD 中，已知 PA  平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形，  ABC BAD  , PA  AD 2, AB BC 1 2 (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 23.已知集合 f (n ) X {1, 2,3}, Yn {1, 2,3,, n}( n  N * ) 表示集合 （1）写出 （2）当 Sn f (6) n 6 ，设 S n {(a, b) | a整除b或除a, a  X , b  Yn } ，令 所含元素个数. 的值； 时，写出 f ( n) 的表达式，并用数学归纳法证明。