2019年湖南高考文科数学真题及答案

2019 年湖南高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 3 i z 1．设 1  2i ，则 z = B． 3 A．2 2．已知集合 A． D．1 U  1, 2,3, 4,5, 6, 7 ，A  2,3, 4,5 ，B  2,3, 6, 7 ，则  1, 6 3．已知 C． 2 B．  1, 7 a log 2 0.2, b 20.2 , c 0.20.3 A． a  b  c C．  6, 7 D．  1, 6, 7 ，则 B． a  c  b C． c  a  b D． b  c  a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 5 1 （ 2 2 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与 咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 2 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖 子下端的长度为 26cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm sin x  x 5．函数 f(x)= cos x  x 2 在[-π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统 抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 7．tan255°= A．-2- 3 B．-2+ 8．已知非零向量 a，b 满足 π A． 6 a =2 π B． 3 3 C．2- 1 1 2 2 D．2+ b ，且（a-b）  b，则 a 与 b 的夹角为 2π C． 3 1 9．如图是求 2  3 的程序框图，图中空白框中应填入 5π D． 6 3 1 A．A= 2  A B．A= 2 1 A 1 C．A= 1  2A D．A= 1 1 2A x2 y 2  1(a  0, b  0) 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 10．双曲线 C： a 2 b 2 A．2sin40° B．2cos40° 1 C． sin50 1 D． cos50 1 b 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=- 4 ，则 c = A．6 B．5 12．已知椭圆 C 的焦点为 | AB || BF1 | F1 ( 1, 0), F2 (1, 0) C．4 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 | AF2 |2 | F2 B | ，则 C 的方程为 x2  y 2 1 A． 2 x2 y 2  1 B． 3 2 x2 y 2  1 C． 4 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 D．3 y 3( x 2  x)e x 在点 (0, 0) 处的切线方程为___________． x2 y 2  1 D． 5 4 ， 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 15．函数 f ( x ) sin(2 x  a1 1，S3  3 4 ，则 S4=___________． 3π )  3cos x 的最小值为___________． 2 16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3 ，那 么 P 到平面 ABC 的距离为___________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意 或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ K2  附： n(ad  bc) 2 (a  b)(c  d )( a  c)(b  d ) ． P（K2≥k 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ） k 18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=-a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 19．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21.（12 分） 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│=4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）  1 t2 x  ，  1 t2 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为  （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴  y  4t 1 t2  的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2  cos   3 sin   11 0 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）