2015湖南高考理科数学真题及答案

2015 湖南高考理科数学真题及答案 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分. 一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题 目要求的. 1.已知  1  i  2 1  i z A. 1  i （ 为虚数单位），则复数 z =（ i B. 1  i C.  1  i D.  1  i 2.设 A,B 是两个集合，则” A  B  A ”是“ A  B ”的（ A.充分不必要条件 C.冲要条件 ） ） B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 n 3 ，则输出的 S ( A. 6 7 B. 3 7 C. 8 9 D. ) 4 9  x  y  1 4.若变量 x, y 满足约束条件   2 x  y 1 ，则 z 3x  y 的最小值   为（ y 1 ） A.-7 B.-1 5.设函数 C.1 D.2 f ( x) ln(1  x )  ln(1  x) A.奇函数，且在 (0,1) C. 偶函数，且在 ，则 f ( x) 是（ 上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1) ） (0,1) 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数 (0,1) 5 上是减函数 a  的展开式中含 3 的项的系数为 30，则 a （ 2  x  x x  6.已知  A. 3 B.  3 C.6 D-6 7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入 （曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估 ） A.2386 B.2718 ） C.3413 D.4772 阴影部分 计值为（    8.已知点 A,B,C 在圆 x 2  y 2 1 上运动，且 AB  BC .若点 P 的坐标为（2,0），则 PA  PB  PC 的最 大值为（ A.6 ） B.7 C.8 D.9 9.将函数 f ( x ) isn 2 x 的图像向右平移  (0     ) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像，若对满足 2  f ( x1 )  g ( x2 ) 2 的 x1 , x2 ，有 x1  x2 min  ，则  （ 3 5    A. B. C. D. 12 3 4 6 ） 10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通 个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的 的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利 新工件的体积 ）（ 原工件的体积 A. 8 B. 16 9 9 过切割，加工成一 一个面落在原工件 用率= ） C. 4( 2  1)3 D.  12( 2  1)3  二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. . 20 ( x  1)dx  12.在一次马拉松比赛中，35 绩（单位：分钟）的茎叶图如 若将运动员按成绩由好到差编 名运动员的成 图 4 所示. 为 1 35 号， 再用系统抽样方法从中抽取 7 绩在区间[139,151]上的运动 人，则其中成 员人数是 . 13.设 F 是双曲线 C： x 2 a2 则 C 的离心率为  的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点， y2 1 2 b . 14.设 S 为等比数列 a 的前项和，若 a 1 ，且 3S , 2S , S 成等差数列，则 a   n n 1 1 2 3 n . 3 15.已知 f ( x )  x , x a ，若存在实数 b ，使函数 g ( x)  f ( x)  b 有两个零点，则的取值范围是  2 x , x  a 三、解答题 16.(Ⅰ)如图，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 AB、CD 的中点分别是 M、N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明： （1） ； 0 MEN  NOM 180 . （2） FE  FN FM  FO  3 t  x 5  2 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， （Ⅱ）已知直线 l :  y  3  1 t  2 曲线 C 的极坐标方程为  2 cos  . （1） 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2） 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) 1 a ，直线 与曲线 C 的交点为 A，B，求 l （Ⅲ）设 a  0, b  0 ，且 a  b   | MA |  | MB | 的值. 1 . b （1） a  b 2 ； （2） a2  a  2 与 b2  b  2 不可能同时成立. 17.设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a b tan A ，且 B 为钝角》  2 （2）求 sin A  sin C 的取值范围 (1)证明： B  A  18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白 球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则 获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 19.如图，已知四棱台 ABCD  A1 B1C1D1 底面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 （1）若 P 是 DD1 DD1 的中点，证明： 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形， 、BC 上. AB1  PQ ； （2）若 PQ//平面 ABB1 A1 ，二面角 P-QD-A 的余弦值为 3 ，求四面体 ADPQ 的体积. 7 AA1 6 ，且 AA1  20.已知抛物线 的长为 C2 l （ⅱ）设 21.已知 C2 : 的一个焦点， 与 的公共弦 y2 x2 C1 C2  2 1(a  b  0) 2 a b 的方程； （2）过点 F 的直线 与 （ⅰ）若 的焦点 F 也是椭圆 . 2 6 （1）求 C1 : x 2 4 y | AC || BD | C1 C1 相交于 A、B 两点，与 C2 相交于 C、D 两点，且  f ( x) eax sin x( x  [0, )) .记 xn 为 f ( x) 明： { f ( xn )} （2）若 a  是等比数列 1 2 e 1 BD 同向 l l ，函数 与 ，求直线 的斜率 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 绕点 F 旋转时， a 0 （1）数列 AC ，则对一切 n N* ， xn | f ( xn ) | 恒成立. MFD 的从小到大的第 n 总是钝角三角形 (n  N * ) 个极值点,证