2015年湖北高考理科数学真题及答案

绝密★启用前 2015 年湖北高考理科数学真题及答案 本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的 答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1． i 为虚数单位， i 607 的共轭复数为 A． i B．  i C．1 D．  1 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 3．已知 (1  x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A． 212 B． 211 C． 210 D． 29 4．设 X  N ( 1 ,  12 ) ， Y  N (  2 ,  22 ) ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A． P(Y 2 ) P(Y 1 ) B． P( X  2 ) P( X  1 ) C．对任意正数 t ， P( X t ) P(Y t ) D．对任意正数 t ， P( X t ) P(Y t ) 第 4 题图 5．设 a1 , a2 , , an  R ， n 3 . 若 p： a1 , a2 ,, an 成等比数列； q： (a12  a22    an2 1 )(a22  a32    an2 ) (a1a2  a2 a3    an  1an )2 ，则 A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 1, x  0,  6．已知符号函数 sgn x 0, x 0, f ( x) 是 R 上的增函数， g ( x)  f ( x)  f (ax) (a  1) ，则   1, x  0.  A． sgn[ g ( x )] sgn x B． sgn[ g ( x)]  sgn x C． sgn[ g ( x)] sgn[ f ( x)] D． sgn[ g ( x)]  sgn[ f ( x)] 1 1 7．在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ，记 p1 为事件“ x  y  ”的概率， p2 为事件“ | x  y | ”的概率， p3 2 2 1 为事件“ xy  ”的概率，则 2 A． p1  p2  p3 B． p2  p3  p1 C． p3  p1  p2 D． p3  p2  p1 8．将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m  0) 个单位 长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则 A．对任意的 a, b ， e1  e2 B．当 a  b 时， e1  e2 ；当 a  b 时， e1  e2 C．对任意的 a, b ， e1  e2 D．当 a  b 时， e1  e2 ；当 a  b 时， e1  e2 9．已知集合 A {( x, y ) x 2  y 2 1, x, y  Z} ， B {( x, y ) | x |2 , | y |2, x, y  Z} ，定义集合 A  B {( x1  x2 , y1  y2 ) ( x1 , y1 )  A, ( x2 , y2 )  B} ，则 A  B 中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 10．设 x  R ， [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ，使得 [t ] 1 ， [t 2 ] 2 ，…，[t n ] n 同时成立，则正整数 n 的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答题卡对应题 号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14 题）      11．已知向量 OA  AB ， | OA |3 ，则 OA OB  ． x π 12．函数 f ( x ) 4cos 2 cos(  x)  2sin x  | ln( x  1) | 的零点个数为 2 2 ． 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方 向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD  m. y D B C N M C A O B T x A 第 13 题图 第 14 题图 14．如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A, B （B 在 A 的上方）， 且 AB 2 ． （Ⅰ）圆 C 的标准方程为 ； （Ⅱ）过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2  y 2 1 相交于 M , N 两点，下列三个结论： ① NA NB  MA MB ； ② NB NA  MA MB 其中正确结论的序号是 2 ； ③ NB NA  MA MB 2 2 ． . （写出所有正确结论的序号） （二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第 15 题作答结果计分．） 15．（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， P 且 BC 3PB ，则 AB  AC B C . 16．（选修 4-4：坐标系与参数方程） A 第 15 题图 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 1   x t  t ,  (sin   3cos  ) 0 ，曲线 C 的参数方程为  ( t 为参数) ，l 与 C 相交于 A , B 两点，则 1  y t   t | AB | . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 11 分） π 某同学用“五点法”画函数 f ( x)  A sin( x   ) (  0, |  | ) 在某一个周期内的图象 2 时，列表并填入了部分数据，如下表： x  0 x A sin( x   ) 0 π 2 π 3 π 5 3π 2 5π 6 5 2π 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f ( x) 的解 析式； （Ⅱ）将 y  f ( x) 图象上所有点向左平行移动  (  0) 个单位长度，得到 y g ( x) 的图 象. 若 y g ( x) 图象的一个对称中心为 ( 5π , 0) ，求  的最小值. 12 18．（本小题满分 12 分） 设等差数列 {an } 的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，等比数列 {bn } 的公比为 q．已知 b1 a1 ， b2 2 ， q d ， S10 100 ． （Ⅰ）求数列{an } ，{bn } 的通项公式； （Ⅱ）当 d  1 时，记 cn  an ，求数列{cn } 的前 n 项和 Tn ． bn 19．（本小题满分 12 分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑． P 如图，在阳马 P  ABCD 中，侧棱 PD  底面 ABCD ， 且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF  PB 交 PB 于 点 F ，连接 DE , DF , BD, BE. F E （Ⅰ）证明： PB  平面DEF ．试判断四面体 DBEF 是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 D 出结论）；若不是，说明理由； （Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π ， 3 C A DC 求 的值． BC 写 B 第 19 题图 20．（本小题满分 12 分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时， 获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 B 产 品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天 可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z （单位：元）是一 个随机变量． （Ⅰ）求 Z 的分布列和均值； （Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率． 21．（本小题满分 14 分） 一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN ON 1 ， MN 3 ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作 往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为 原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．