财政税收论文：基于一种修正Vasicek模型的国债定价研究

 　　①"327"国债期货事件："327"是国债期货合约代号，其标的为1992年发行、1995年6月到期兑付的3年期国库券。1992-1994年，中国通货膨胀高企，国家为了保证国债顺利发行，对已发行国债实行保值贴补，保值贴补率由财政部根据通涨指数每月公布。市场对通涨率及保值贴补率的预期极易产生分歧。1995年2月23日，辽国发在得知"327"贴息消息后立即由做空改为做多，当日最后8分钟，空方主力万国证券增加1056万口卖单，使得当日开仓多头全线爆仓。当日晚上，上交所确认空方主力恶意违规，宣布最后8分钟所有的"327"品种期货交易无效，各会员之间实行协议平仓。

　　一、引言
近十年来，我国债券市场发展迅速，债券年成交量从2004年的13.3万亿元增加到2012年的263.6万亿元，增长近20倍。反观我国A股市场，年成交量从2004年的4.2万亿元增加到2012年的16.4万亿元，增长3.9倍。这说明，我国债券市场的投融资功能进一步增强。然而，国内学术界对债券定价，特别是国债定价的关注相对不足，仅有的一些文献研究并不能解决我国国债定价问题，这也要求我们对国债定价问题进行更加深入分析。
国外学者对国债定价及相关问题进行了大量的研究工作。许多学者利用不同的利率模型及方法对国债及相似债券进行了定价研究。Piet和Wu[1]利用Vasicek模型、CIR模型和样条模型对国债定价效果对比后认为，样条模型的定价效果最差。Nowman 和 Ghulam[2]采用CKLS模型对英国和美国的无违约风险债券进行定价分析，分析结果表明，无违约风险债券的定价结果对不同CKLS嵌套模型非常敏感。John等[3]运用马尔科夫区制转换CIR模型对国债进行定价分析后认为，加入区制转换的CIR模型比原CIR模型的定价误差更小、定价效果更好。Tak[4]建立一种包含跳跃项的马尔科夫区制转换Vasicek模型对债券进行定价分析后认为，这种扩展的Vasicek模型能够显著提高债券的定价效果。一些学者对通胀保护国债（TIPS）的定价问题进行了研究。Robert和Yildiray[5]利用HJM模型对TIPS及其衍生产品的定价问题进行了实证分析。Jens等[6]建立了包含随机波动率的无套利期限结构模型对含有通缩保护权的TIPS进行了定价研究。与此同时，一些学者对影响国债价格的因素进行了实证研究。Elton和Green[7]研究了国债定价中的税收效应和流动性效应，其研究表明，这两种效应要比市场之前认为的小的多，流动性效应是由于长期国债的巨大交易量造成的。
然而，以上文献大多采用的是线性利率模型（本文所指的线性关系是指漂移函数与短期利率的关系），本文将对Vasicek模型进行非线性改进，并利用改进的模型对国债定价进行研究。

　　二、模型建立
对2011年1月4日-2013年5月8日的上海银行间同业拆借市场（Shibor）隔夜利率进行差分，就可以绘制利率差与前一期利率的散点图①。图1中的横坐标代表前一期利率水平，纵坐标代表利率差，可以看出，利率差与前一期利率水平的线性关系并不显著，同时，两个变量之间存在一定程度的异方差性，所以，我们可以初步判定瞬时利率过程的漂移函数是短期利率的非线性函数。
drt=（a0+a1rt+a2r2t）dt+σdWt（1）
图1利率差-前一期利率的散点图三、模型检验
为了对模型的有效性进行判断，本文使用最小二乘法（OLS）和蒙特卡罗模拟方法对修正的Vasicek模型与Vasicek模型进行比较分析。由于异方差问题的存在，本文采用加权的OLS方法对两个模型进行了参数估计，估计结果如表1所示。可以看出，修正Vasicek模型的调整R2明显大于Vasicek模型，这说明修正Vasicek模型对数据的拟合程度要优于Vasicek模型；修正Vasicek模型的F统计量明显大于Vasicek模型，这说明修正Vasicek模型的整体显著性要强于Vasicek模型。综合以上分析，我们初步判定修正Vasicek模型的估计效果要优于Vasicek模型。
为了更加全面地对修正Vasicek模型有效性进行检验，本文首先使用一种广义NS模型获取即期利率，然后从中选取三种不同期限利率（短期利率、中期利率和长期利率），并分别利用这三种利率对修正Vasicek模型和Vasicek模型进行参数估计，最后利用蒙特卡罗模拟方法对模型进行检验。
利率期限结构的静态估计方法主要有：息票剥离法、样条函数法和参数模型法。文忠桥[23]在Nelson-Siegel模型和Svensson模型的基础上提出了一种广义的NS模型，由于增加了待估参数和即期利率表达式的
项数，从而使得该模型可以表现更加丰富的利率期限结构曲线。该模型可以表示为：
+β3t1-e-λ3t（τ+Δt）λ3t（τ+Δt）+β4t1-e-λ4t（τ+Δt）λ4t（τ+Δt）-e-λ4t（τ+Δt）（2）
根据连续复利的贴现因子：Dt（τ）=exp[-R（τ）*τ]，债券i的理论价格与实际价格分别为：
其中，Ciτ、εit分别为债券i的现金流与定价误差。本文将利用非线性最小二乘方法最小化目标函数：min∑ni=1εi2t。为了消除异方差性，本文将采用加权方法进行参数估计①。
图2广义NS模型和NS模型估计效果对比图

　　目前，马尔可夫链蒙特卡罗估计法（MCMC）已经成为一种处理复杂统计问题的流行的方法，该方法将马尔可夫过程应用到蒙特卡罗模拟方法，通过动态抽样，克服了传统蒙特卡罗模拟的静态处理时间序列变量、高维概率分布难抽样等缺陷。该方法可以对潜变量进行蒙特卡洛积分获取参数的联合后验分布，而极大似然估计（MLE）是在已知联合分布情况下进行的，在这点上优于极大似然法，此外，MCMC也不像广义矩估计（GMM）

　　①由于债券期限越长，修正久期就越大，债券价格受利率波动的影响就越大；本文设置的权重为1/Dτi∑1/Dτi，其中Dτi为各债券的修正久期。
本文分别选择10月期利率、3年期利率、10年期利率作为做为短期利率、中期利率、长期利率的反映变量。对三种不同期限利率进行MCMC估计之前首先应对估计的参数设定先验分布，本文参照范龙振[24]分别对4个参数进行先验分布设定：a0～N（0，0.01），a1～N（0，0.01），a2～N（0，0.01），itau～Gamma（2.5，0.01），其中itau=1/σ2，从而分别得到三种不同期限利率模型对于短期利率模型，本文共进行40000次模拟，去掉前9999次模拟，利用后30001次模拟结果求取参数估计值；对于中期利率模型，共进行60000次模拟，去掉前19999次模拟，利用后40001次模拟结果求取参数估计值；对于长期利率模型，共进行80000次模拟，去掉前19999次模拟，利用后60001次模拟结果求取参数估计值。：
3.蒙特卡罗模拟检验
图3Vasicek模型和修正Vasicek模型模拟误差对比图
四、国债定价
本文将使用蒙特卡罗模拟方法对国债价格进行定价，这种定价方法可以克服Vasicek模型对市场风险价格恒定假定这一缺陷，这一假定具有主观性，吴恒煜等研究证实，不同的风险价格设定将会导致利率期限结构曲线的较大差异。蒙特卡罗模拟定价方法共分为四步：（1）利用估计的利率模型模拟出n条T步利率路径；（2）根据贴现因子公式Dj（t）=exp-1T∑ti=1rij=1…n，计算出n个时刻为t的贴现因子；（3）求出贴现因子的期望值，公式为：D（t）=E[Dj（t）]；（4）依据债券的现金流，计算出债券的理论价格P=∑Tt=1C（t）D（t）。
本文从上交所选取了7只连续交易的付息债券进行价格模拟。由于债券是连续交易的，因此本文选择日交易数据进行参数估计，使用的数据是交易所国债隔夜回购利率，数据起止时间为2012年1月4日-2013年4月9日，本文将对2013年4月10日的国债收盘价格进行模拟，在模拟价格时应剔除债券的应计利息。
在进行价格模拟之前，首先要估计修正Vasicek模型，为了确保估计参数的可用性，本文首先对参数进行了统计分析和平稳性检验，检验结果表明，交易所国债回购利率在1%的显著性水平下是平稳的，并且没有出现明显的异常值，因此，利用此数据对模型参数进行估计是可行的。
从前文的分析可以看出，收敛性检验对判断参数估计的有效性至关重要，此处，本文使用核密度图来判断参数的收敛性，从图4可以看出，每个参数的核密度曲线都比较光滑，只有小部分区域有轻微的凹凸不平，这说明模型估计的参数都是收敛的。'

　　图4修正Vasicek模型参数的核密度图2.国债价格模拟
　　得到估计的模型后，就可以对国债价格进行模拟，本文利用Matlab生成5000条利率路径，并根据前文提及的模拟步骤可得到国债的模拟价格，结果如表3所示。可以看出，这些国债都是固定利率付息债券，且剩余期限越短，其定价误差越小、定价效果越好，但随着剩余期限的增加，国债的定价误差不断增大，剩余年限超过12年的05国债（4）的定价差额达到了惊人的12.32元，定价误差率为11.8132%剩余交易天数是由剩余天数换算得到的，使用的换算率为365/250，因此，剩余交易天数越长的债券其剩余期限就越长。。本文发现这与吴恒煜和陈鹏[11]、周荣喜和王晓光[13]采用相同方法得到的结果一致，同时，也与文忠桥[12]通过将估计的模型参数代入由模型推导的债券价格公式得出的结论大体一致。本文认为造成这一问题的原因主要有：（1）与流动性偏好有关。根据流动性偏好理论，市场中的长期债券利率等于短期债券利率加上流动性溢价，而单因子利率模型无法描述市场上的流动性溢价，因此，债券的定价误差会随着剩余期限增加而增加。（2）与我国国债市场的市场分割状态有关。根据市场分割理论，长期债券市场和短期债券市场是分割的，长期债券利率是由长期资金借贷的均衡利率决定的，短期债券利率是由短期资金借贷的均衡利率决定的，这种市场分割状态的存在使得长、短期利率变化的内在关系脱离了预期理论的规律。而我国债券市场分割状态主要是由我国债券市场的两个子市场--银行间债券市场和交易所债券市场不通连以及我国国债期限结构匹配失衡造成的。（3）模型本身的缺陷也可能是造成国债定价误差的原因之一。修正Vasicek模型是单因子模型，单因子模型假定短期利率是影响利率变动的唯一原因。然而，宏观经济环境复杂多变，仅仅将短期利率作为影响利率变动的唯一原因会使得利率变动的不确定性随期限的增加而增加，从而导致定价误差随期限增加而变大。
　　（三）国债定价误差的修正
　　为了更加准确地对国债定价，本文试图对流动性溢价等因素进行量化。本文假设流动性溢价等因素是导致国债定价误差的原因，并假定这些因素是债券剩余交易天数的函数。
　　图5剩余期限与定价误差的散点图
　　本文将模型产生的定价误差（EP）作为被解释变量，把剩余交易期限作为解释变量，通过两变量散点图可以看出，剔除掉右边两个异常值，剩余交易期限与定价误差呈二次函数关系，因此，本文建立定价误差修正模型：
　　EP=α+β1·T+β2·T2+ε（6）
　　表4国债定价误差修正模型估计结果参数估计值标准差t值P值调整R2F统计量α-0.001440.005679-0.252920.8104β21.35E081.20E0911.240180.00010.954318126.3417
　　利用OLS方法对参数进行初步估计发现，β1的t值并不显著，因此，在原模型中剔除β1·T项，并再次进行估计，估计结果如表4所示。可以看出，T2的系数是显著的，并且模型对数据的拟合效果非常好，同时，模型的整体显著性也通过了检验。在估计得到模型的参数之后，本文接下来就将对原来的定价结果进行修正。修正Vasicek模型的定价误差可以通过将剩余交易天数代入定价误差修正模型计算得到，然后根据修正Vasicek模型的定价结果计算修正后的定价结果，计算结果如表3所示。可以看出，除了期限较短的两只债券外，其余修正后的国债定价效果显著提高，提高最为明显的为剩余期限最长的05国债（4），其定价结果已经非常接近市场价格，虽然05国债（12）的定价误差为-1.4718%，但相对于之前的定价结果已有显著地提高。综合来说，这种修正的国债定价方法是可行，是一次有益的尝试。
　　五、结论
　　国债可以看成一种无风险证券，国债价格的波动将会传导到公司债券、国债期货等金融资产价格，因此而言，对国债进行准确定价对保持金融市场稳定具有基础性作用。本文在对国内外国债定价相关文献梳理的基础上，提出了一种非线性的动态利率模型，并对模型的估计效果进行了OLS和蒙特卡罗模拟检验，最后将模型应用于国债定价，并对国债的定价误差进行修正。本文的研究结果表明：（1）利率模型的漂移函数具有显著的非线性特征；（2）相较于Vasicek模型，修正Vasicek模型估计效果更显著、蒙特卡罗模拟误差更小；（3）修正Vasicek模型的国债定价误差与剩余期限有着显著的二次函数关系，利用这一关系对国债定价误差修正的结果非常理想。然而，波动率为常数设定是模型的一大缺陷，今后可以向随机波动率模型进行扩展，或者是加入区制转换模型、跳跃项等，利用这些扩展的模型对国债定价的效果可能会更好。