Copula方法在金融领域的 应用

　　上个世纪八十年代之后，随着发达国家金融市场规模不断扩大、金融工具品种不断创新，金融时间序列的量化研究进入新纪元。大量研究表明，金融时间序列与其他经济序列具有显著区别，主要表现出以下几个特征：第一，尖峰厚尾；第二，异方差性和波动聚集。尖峰指的是金融资产收益率的实际分布相较于正态分布在中部具有更高的概率密度，厚尾指的是实际分布在左右尾部比正态分布要厚一些。发生这种现象的一个解释是，资产收益率的变化相较于其他经济序列数值差异过大。这种特性也表明金融市场中的交易容易获得暴利，也容易遭受损失。异方差性指的是资产收益率的条件方差具有时变性。波动聚集指的是资产收益率出现较大波动时，通常会紧随出现一系列较大波动；出现较小波动时，同样可能紧随出现一系列小波动。造成异方差性和波动聚集的一个解释为金融时间序列存在短记性，并且受到市场景气周期的影响。 
金融时间序列的这些特性，为其分析预测带来了困难。1982 年，Engle提出了ARCH模型，允许金融时间序列的方差在过去新息的基础上，随着时间变化而变化，也就是条件异方差的概念，该模型较好地解决了异方差性和波动聚集的问题。一系列衍生模型，如GARCH、EGARCH、IGARCH等相继被创造出来，形成了GARCH族模型。Engle本人也凭借在金融时序分析领域做出的突出贡献，与Granger共同获得了2003年诺贝尔经济学奖。此外，对于尖峰厚尾问题的研究成为了金融量化研究领域的热点。显然，依靠正态分布、t分布难以刻画资产收益率的真实分布，也难以捕捉多个序列之间的相关关系，强行使用会产生谬误。而基于Copula函数的建模方法为解决此类问题提供了一条可行路径。 Copula模型的优势 
Copula的概念最早由Sklar于1959年提出，其本质上是一种连接函数，用于概率测度空间领域的相关研究之中。二十世纪七十年代，Schweizer将Copula方法逐步引入到了统计、计量领域，进一步拓展了Copula函数的研究范围。不过由于Copula函数形式较为复杂，依靠人工计算的可行性较差，因此九十年代之前相关研究多停留在理论层面。随着近二十年计算机的普及， Copula方法在经济领域，特别是在金融领域的应用得到了蓬勃发展。与传统的建模工具相比，Copula模型具有以下几个优势。 
第一，两步建模方法极大提升了模型的灵活性。在多元正态分布的建立过程中，首先假设每一个随机变量的边缘分布均服从正态分布，随后使用相关系数矩阵刻画相关性。显然，这种假设既不具有灵活性，又与实际分布相差甚远。Copula方法克服了这个缺陷。Copula模型的建立分为两步：首先根据每个随机变量的数据生成过程拟合边缘分布，随后选用适合的Copula函数将多个边缘分布相连接，形成多元联合分布。 
第二，多种变量分布能够较好地拟合真实时序。在第一步中，Copula模型对随机变量的边缘分布没有硬性限制，可以使用正态、t、GED等多种参数分布拟合，也可以使用核密度估计等非参数方法拟合，甚至可以使用经验分布拟合。对于金融时序来说，可以使用上述一种或多种方法组合刻画边缘分布，能够较好地解决尖峰厚尾问题。在第二步中，Copula函数具有多种多样的形式，如椭圆族Copula、阿基米德族Copula等。通过选取不同的Copula函数，可以刻画随机变量之间复杂的相关关系。将不同边缘分布与不同Copula函数相组合，可以构建出多种多样的联合分布，能够更有效地捕捉真实金融时序的特征。 
第三，层次构建思想更为有利于拆分金融风险。两步构建模型实际体现了层次建模思想。这种拆分使得单个资产的波动风险体现在了边缘分布之中，资产之间相互联动的相关性风险体现在了Copula函数之中，实现了风险的逐层分解。更有利于分析相关金融问题，有利于强化金融风险管控体系。 Copula方法在金融领域的主要应用 
基于Copula模型的上述优点，目前该方法在金融领域的学术研究和实际应用方面取得了一批显著的成果，以下将就主要的三个方向进行介绍。 
第一，市场相关性测度。股市、外汇、期货等金融市场之间存在普遍联系，国家与国家之间的金融市场同样相互依存。2008 年，由美国爆发的次贷危机在很短的时间内沿着资本流动路径传染至全球主要金融市场，引发国际金融危机。因此研究市场之间的相关性对于我国防控输入性金融风险、保障国家金融安全具有重要意义。显而易见，在金融市场关联高度复杂化的今天，传统的线性相关系数或者系数矩阵愈发趋于无效。Copula函�底魑�一种新的解决方案，它的一个显著特性就是能够捕捉随机变量之间的非线性和非对称相关关系。特别是能够捕捉尾部相关关系，也就是能够测度出当一个市场发生极端上涨或极端下跌时，其他关联市场上涨或下跌的可能性，这对监测市场异动的发生具有重要作用。此外，近几年一种基于二元Copula函数逐层叠加的图模型――Vine Copula模型逐步兴起。Vine Copula模型不但能够捕捉多个市场之间的复杂关系，更能够依据一定的路径，刻画市场之间相互影响的相关性结构，使得更为全面地认识市场之间的联动成为可能。 
第二，投资组合风险度量。Copula函数不但能够测度市场间的相关性，同样能够测度不同资产间的相关性，这就引申出来该模型的另一重要应用――投资组合风险度量。对于机构投资者和个人投资者来说，风险度量和控制是投资过程中最重要的工作，目前国际通用的做法是计算投资组合的在险价值（VaR）。VaR指的是在一定置信水平下和一定持有期内，某一投资组合可能面临的最大损失。目前计算VaR的主要方法有正态分布法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法等。Copula方法开辟了一条新的路径，以两种资产投资组合为例，其计算方法如下：首先，选取适当的边缘分布和Copula函数对两种资产的收益率构建最优Copula模型；其次，采用蒙特卡洛模拟技术根据选取的Copula 函数生成相关的二维随机样本；再次，根据各资产收益率的边缘分布做逆概率变换，得到收益率，根据两种资产的比重计算得到收益率样本集；最后，根据置信水平，计算两种资产组合收益率的样本分位数，得到VaR。上述过程可以重复多次，直到VaR收敛为止。使用Copula函数计算资产投资组合VaR，既利用了蒙特卡洛模拟仿真的计算思想，又克服了正态分布法无法捕捉收益率尖峰厚尾特征的缺陷。在大多数投资组合VaR的度量研究中， Copula方法可以取得持平或者优于传统方法的效果。 
第三，信用衍生品定价。除了市场风险以外，金融机构面临的另外一个重要风险是信用风险，Copula方法在此领域同样具有用武之地。信用衍生品是上个世纪九十年代创造出来的新型信用风险管理工具，其具有分散信用风险、增强资产流动性、提升资本回报率、扩大金融市场规模、提高金融市场效率等几方面的功效。信用衍生品的种类很多，以担保债务凭证（CDO）为例，创始银行取得拥有现金流的资产组合之后，将其转移给特殊目的实体（SPE）进行分割和重新打包，以私募或公开的形式发行给投资人，进而实现信用风险的市场化配置。在CDO的定价过程中， 资产之间的违约相关性是影响CDO信用风险的主要因素。2000 年，Li提出使用Copula函数测度违约相关系数，这种方法一经提出，就得到了广泛的应用。与传统定价方法相比，Copula函数具有灵活易用、能够较好刻画资产复杂相关性等优点，保证其能够达到同等或更为优良的定价效果。目前，基于Copula函数的信用衍生品定价在学界得到了极大的发展，出现了许多关联研究； 在业界已经嵌入多种计量分析软件，成为CDO定价的标准方法之一。 
除了上述领域之外，Copula方法在以相关性为基础的其他金融问题研究领域，如资产最优组合选择、信用评级等方面，同样具有广阔的应用前景。值得注意的是，计量经济模型是基于一定假设条件下对于经济现象的高度提炼与浓缩，使用Copula方法对金融问题研究可以起到很好的量化效果，但最终利益相关者的决策不能完全依赖模型结果，需要就具体问题开展更为深入分析和研究。 
（本研究得到中国社会科学院学科建设“登峰战略”资助计划项目“数量经济学”资助） 
（作者单位：中国社会科学院研究生院，中国社会科学院数量经济与技术经济研究所）