傅立叶级数及其应用

 　一、数学是一切自然科学的基础,任何现代科技的发展都离不开数学原理的运用,磁共振成像技术也不能例外,比如,现代磁共振图象重建技术主要是通过傅立叶变换实现的。本文从高等数学的视角,对傅立叶级数,傅立叶变换进行了数学分析,并举例说明傅立叶变换在实际生活中的具体应用。本文在介绍傅立叶相关理论的基础上,对傅立叶级数在磁共振图像重建技术的作用进行了较为全面的讨论,从理论上分析了傅立叶理论在图像处理中的重要性,并进而说明了傅立叶级数在实际生活中的重要性。 
　　二、傅立叶分析的主要内容有傅立叶级数、傅立叶变换等。傅立叶变换给出了一个非周期时域函数的频域描述、根据时域信号的类型可以用多种方法求解傅立叶变换、求傅立叶变换的方法包括:根据积分定义求解、通过拉氏变换求解、通过极限求解、利用傅立叶变换的函数变换和运算变换求解、响应信号y(t)的傅立叶变换为Y(ω)=X(ω)*H(ω),X(ω)为输入信号x(t)的傅立叶变换、H(ω)为网络函数H(s)在s=jω处的值、傅立叶变换电路应用与拉氏变换电路应用的比较、帕塞瓦尔定理、傅立叶变换将f(t)包含的总能量的一部分与一个焦耳特定频带联系起来。 
　　例如,磁共振装置在成像时接收的MR信号是不同体素内的质子所发出的具有不同共振频率的复合信号。虽然是一系列非常复杂的生物体信号,但是通过傅立叶变换,可以将这些复杂的复合信号还原为与其空间磁场相对应的位置信号,并使其简单化。傅立叶变换像一个“转换体”,它可以将复杂的时域信号变为简单的频域信号。傅立叶变换为什么会有这样的性质呢?为了证明这个问题,我们首先引入傅立叶级数的概念。 
　　在高等数学中,周期为T的函数F(t)可以有如下傅立叶级数: 
　　F(t)=Ancos()t+Bnsin()t 
　　其中An、Bn为傅立叶级数,在T≤t≤T范围内有: 
　　An=f(t)cos()tdt 
　　 Bn=f(t)sin()tdt 
　　可以看出,如果周期T和n已知,An、Bn通过定积分可以变为常数,分析傅立叶级数公式可知f(t)是一些简单的正、余弦三角函数之和。换句话说,看似复杂的周期函数f(t)是由一些十分简单的周期函数叠加而成,从物理角度而言,一个复杂的周期运动能被看作许多不同频率的简谐振动的叠加。 
　　对于以上傅立叶级数,当f(t)为奇函数时,由于cos()t 为偶函数,且奇函数×偶函数=奇函数,所以f(t)cos()t为奇函数,又由奇函数在对称区间上积分为0的性质,故有下式: 
　　 An=f(t)cos()tdt=() 
　　当f(t)为偶函数时,由于sin()t为奇函数,同理有f(t)sin()t为奇函数,故有下式: 
　　Bn=f(t)sin()tdt=() 
　　综上所述f(t)又可表示为: f(t)Ancos()t→f(t)=f(-t)Bnsin()t→-f(t)=f(-t) 
　　由此可见,余弦波的傅立叶变换是对称性的,而正弦波的傅立叶变换是非对称性的。 
　　三、傅立叶级数在磁共振图象重建技术中的应用 
　　在磁共振成像中,为了能确定体素的空间位置,对人体头足、左右、前后方向按一定的顺序先后施加微弱强度的线性梯度磁场,梯度磁场与主磁场叠加后,使躯体不同位置所对应的磁场强度有一个线性变化。当层面选择时,根据欲选层面所对应的磁场强度,发射具有一定频率范围的射频脉冲,就能使相应层面的质子受到激励。我们用一个简单的方波函数进行举例说明。设方波函数为 
　　f(t)1....t≤0....t>,图象如图1所示,并对其进行傅立叶变换: 
　　F(ω)=f(t)edt=cosωtdt-isinωtdt 
　　 由于sinωt是奇函数,所以上式=cosωtdt= 
　　即为傅立叶变换后的函数,如果我们令此函数为0,则有下式: 
　　所求ω即为函数0点,如图2所示。 
　　很显然,图2是一个时域方波的频谱。从图2中可知,用宽度为τ的方波脉冲便能激发ω0± 范围内的频率。如果改变方波宽度τ,所激发的频率范围亦将改变。τ值越小,ω0±2π值越大,其激发的频率范围也就越宽;τ值越大,则相反。在实验操作中,当欲选层面确定时,设备会根据欲选层面所对应的磁场强度以及所选层厚,给出适当频率范围的脉冲,达到对所选层面进行选择性激励的目的。停止发射激励脉冲后,所选层面内的质子开始弛豫,但缺乏空间定位信息。如果在1800C聚相脉冲之前,对所选层面的前后轴向上施加梯度脉冲,会使层面内所有体素按列出现相位差。当接受信号前的瞬间,再在所选层面的左右轴向上施加一个梯度脉冲,又会使层面内所有体素按行出现频率差别。此时,层面内所有体素都将具有特定的相位和频率,而我们接受到的也将是这些体素发出的叠加在一起信号,经过傅立叶变换后,复杂的时域信号被简单的频域信号所表示,并与层面内体素一一对应,从而完成图象的重建。 
　　四、结论:傅立叶变换是一种非常强大的数学工具,其应用实例很多。它不仅在磁共振成像技术中,而且在分析信号技术中也有着十分重要的应用。傅立叶变换看似复杂,但实际上(下转第136页) 
　　(上接第105页)在计算科学中是一个相对简单的概念,它就是一种用频率来表示信号的方法,因为在频率域内进行数学计算时要比在时间域内更容易一些,所以在特定的范围和条件下,采用这种时频转换是极其必要的。因此认识与了解傅立叶级数与傅立叶变换,对于理解和应用这些变换都有着实际上的意义。 
　　参考文献: 
　　[1] 于素芹.信号与系统―分析基础[M ].北京:北京邮电大学出 版社, 1997. 
　　[2] 董绍平,陈世耕,王洋.数字信号处理基础[M ].哈尔滨:哈尔滨 工业大学出版社, 1996. 
　　[3] 张昶,杜昱平.磁共振成像技术[M].太原:解放军白求恩国 际和平医院医疗卫生装备,2008. 
　　作者简介: 
　　田子德(1963---),吉林白城人,男,吉林省白城师范学院数学系副教授,主要从事数据库,数据仓库及数据挖掘方面的教学与应用研究。