经济学论文：经济问题中的数学建模应用

　　关键词：微分方程；数学建模；逻辑斯谛方程；销售曲线

　　中图分类号：F347 文献标识码：A 

　　

　　微分方程研究范围广、历史悠久，在牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=f（x）的求解问题。当人们运用微分去解决经济学中的问题时，发现其对经济问题所做的定性分析和定量分析是严谨的、可信的，因此大量的微分方程涌现出来。现如今，微分方程在经济学和管理学等方面得到越来越广泛的应用。

　　一、逻辑斯谛方程

　　逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的、单调递增的、单参数k为上渐近线的S型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的S型变化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型，其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征为在时间t很小时，呈指数型增长，而当t不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运用逻辑斯谛方程加以解决。

　　 利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f（t），由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t时刻产品销售量的增长率与f（x）成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量N，统计表明，与尚未购买的此新产品的潜在客户数量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合逻辑斯谛方程的模型， 于是有通解：

　　=kx（N-x）

　　其中k为比例系数，分离变量积分, 可以解得

　　x（t）=

　　由=,=

　　当x（t*）0,即销量x（t）单调增加. 当x（t*）=时,=0;当x（t*）>时, < 0;当x（t*）0，即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大。同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。

　　许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以，分析家认为，当产品推出的初期应小批量生产；当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产；但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。

　　二、收入与债务的问题

　　目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？当然可以。利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。

　　令D（t）表示国债在时刻t的美元价值，Y（t）表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，则有

　　D=by,b>0（一般，许多国家的b值 介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）

　　 同时进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：

　　Y=gY g为正常数（表示国民收入的增长率）。

　　上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成两边积分可得

　　Y（t）=C1egt

　　 我们假定利息率为常数r，计算利息支付（rD（t））和国民收入（Y（t））的比值：

　　 定义z（t）=rD（t）/Y（t）为偿付国债利息所吸收的国民收入份额，化简可得

　　z（t）=re-gt+r（1-e-gt）

　　z（t）即利息支付与国民收入的比值，随着t→∞收敛到一个有限值。为了验明这一点，对式子右边的两项取t→∞时的极限。注意e-gt随着t→∞而趋于零。则有：

　　

　　国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rb/g＞1，那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值，此时，如果预算赤字持续下去，那么经济将注定会破产。

　　三、总结

　　数学建模在经济问题中的应用得到了越来越多的重视，在经济学领域中的应用越来越广泛。把更多的较为抽象的经济问题公式化、模型化，将为定量研究较为复杂的经济问题提供更为科学有效的途径。

　　

　　参考文献：

　　[1] 卢达平.微积分在经济管理中的应用 [J].龙岩学院学报 , 2006,（03）.

　　[2] 于同申.发展经济学［M].北京：中国人民大学出版社，2002.

　　[3] 郭爽、李秀丽、高云伟.如何应用微分方程理论进行数学建模[J].大庆师范学院学报,2007,（02）.