理学论文：应用性问题中常见的数学建模

 　一、应用性问题与数学建模的教学的基本原则

　　着重发展学生能力，特别是应用能力，包括：计算、推理、空间想象以及辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、口头和书面的分析与交流。

　　强调计算工具的使用：不仅在计算过程中，而且在猜想、探索、争辨、发现、模拟、证明、作图、检验中使用。

　　强调学生的积极性与主动性：教师不应只是讲演或者总是正确的指导者，还可以扮演不同的角色：问原因，找漏洞，督促学生弄清楚，说明白，完成进度.评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造新的想法和做法。

　　结合学生实际水平，分层次逐步推进，结合正常教学的教材内容，结合正常的课堂教学在部分环节切入应用和建模内容。

　　二、应用性问题中常见的建模

　　随着教育改革的深入，新的课程标准的出台，强调了知识的应用，数学源于实际问题的应用题骤增，因而探讨这类问题的解法具有重要的现实意义，数学建模就是将具有实际意义的应用问题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决。实际问题是复杂多变的，数学建模较多的是探索性和创造性，但是数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的。

　　（一）建立几何模型。诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。

　　例1 足球赛中，一球员带球沿直线L逼近球门AB，在什么地方起脚射门最为有利。

　　分析 这是几何定位问题，画出示意图，如图1：根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线L上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P，使∠APB最大，为此过A、B两点作圆与直线L相切，切点P即为所求，当直线L垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利，可见"临门一脚"的功夫现应包括选取起脚射门的最佳位置。

　　（二）建立方程模型。例2 如下左图：某小区规划在长为40M，宽为26M的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144M，求甬道的宽度。

　　分析 如上右图：作整体思考，设甬道的宽度为xm，则问题转化为：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合题意舍去）。

　　（三）建立直角坐标系与函数模型。当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论。

　　例3 有一批1米长的合金钢材，现要截成长为27cm和13cm两种规格，用怎样的方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率。

　　分析 作出直线 ■+■=12图象，确定与直线最近的整数点（4，2），则4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率为98%。

　　（四）建立不等式模型。对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化为不等式组的求解，目标函数在闭区间的最佳问题。

　　例4 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需要煤9吨，电力4kw，劳力3个（按工作日计算），生产乙产品1吨需要煤4吨，电力5kw，劳力10个；甲产品美吨价7万元，乙产品每吨价12万元。如果每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200kw，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能保证即完成生产任务，又能为国家创造更多得财富？

　　分析 设每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，总产值为S万元，依题意约束条件为■

　　目标函数为S=7x+12y。解方程组■

　　故当x=20，y=24时，Smax=7×20+12×24=428（万元）.

　　答：每天生产甲产品20吨，乙产品24吨，这样即保证完成任务，又能为国家创造更多的财富428万元。