理学论文：高中数学探求轨迹方程的常用技法

 作为高中数学的一个重要组成部分，轨迹方程的求解在高考中占据重要地位。轨迹问题，是每年高考必备的内容，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，则能很好地反映学生在这些方面能力的掌握程度。可见，对轨迹问题的研究是非常重要的。该+文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

　　1 直接法

　　如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系"翻译"成x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程。由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法。

　　例1已知点M（-2，0）、N（2，0），点P满足=12，求P点的轨迹方程。

　　解：设P（x，y），则=（-2-x，-y），=（2-x，y），

　　所以=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=-4+=12，整理得+=16为所求P点的轨迹方程。

　　注 求曲线轨迹方程的基本步骤：

　　建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为M（x，y）；（2）寻找动点与已知点满足的关系式；（3）将动点与已知点的坐标代入；（4）化简整理方程；（5）证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。通常求轨迹方程时，可以将步骤（2）和（5）省略。

　　2 定义法

　　其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

　　例2已知△ ABC的周长为18，且B（-4，0）、C（4，0），求点A的轨迹方程。

　　解：由题知，|BC|=8，

　　所以 |AC|+|AB|=10>（|BC|），

　　所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去与x轴的交点）。

　　因为2=10，2c=8

　　所以=5，c=4，

　　由=-得b===3，

　　所以点A的轨迹方程为+=1（y≠0）。

　　3 相关点法（代换法、转化法）

　　有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们就可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点坐标所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法。

　　例3已知P在以、为焦点的双曲线-=1上运动，求△的重心G的轨迹方程。

　　4 参数法

　　有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，或动点坐标（x，y）中的x ，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法。如果需要得到轨迹的参数方程，选用的参数变量应具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、角度、直线的斜率、点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参数还要特别注意它的取值范围对动点的坐标取值范围的影响。

　　5 变轨法

　　在求动点轨迹时，有时会出现要求两条动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用。

　　例5如右图，垂直于轴的直线交双曲线-=1于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状。

　　解：设及-），又（-，0），可得

　　直线的方程为①；

　　直线的方程为②.

　　①×②得③.

　　又，代入③得，

　　化简得，此即点的轨迹方程.

　　当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆。

　　注意：求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需要说明讨论清楚。求轨迹是首先要求出轨迹方程，然后再说明方程的轨迹图形，最后补漏和去掉增多的点，若轨迹由不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。