理学论文：MPCK视角下的小学数学教师专业发展

 　以小学数学领域的教学来说，许多研究都指出数学教育的品质，受到学校里数学教师专业素质之良莠的影响。为增进数学教育的品质，应积极推动教师专业能力的发展。课程改革中亦是如此，因为课程发展的关键是教师的专业发展，没有教师的专业发展，就没有课程发展。尤其国内小学数学课程改革之快速，使得小学数学教师应接不暇，如何让小学数学教师通过专业发展活动，使其具有丰富的数学专业素养，以适应数学课程的变革？如何关注小学数学教师最需要的东西，以帮助其提高学生数学学习的质量这一直是当前加以关注的问题。那么，小学数学教师需要怎样的专业发展？小学数学教师专业发展的核心是什么？需要怎样有效的发展策略？基于小学数学教师教学工作的现状，关照以下三个方面的问题。

　　一、小学数学教师专业发展之特质

　　1.小学数学教师专业发展具有独特性

　　小学数学教师的专业工作有其不同于其他学段数学教师的独特性。第一，从数学本身来讲，因为小学数学所涉及的内容，无论是基本概念（比如自然数、负数、分数、点线面角等）还是基本法则（比如四则运算、交换律、结合律、分配律等）都是最基础的，因而也是最本质的。有一个形象的比喻：小学生学习的数学是数学之树最为粗大的躯干，初中生和高中生开始学习数学之树的一些枝干，而大学生则涉及更为纤细的枝条，数学专业的研究生几乎就是研究数学之树的一片叶子。要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的，因为学生的年段越低，他们的思维方式和特点与作为成人的教师相去甚远，因此对儿童学习特征的把握也就比较难。小学阶段要为学生奠定这些最为基本的数学基础，小学数学教师需要更广泛地熟知数学的演化发展过程，以及其背后蕴涵的基本思想和内容本质。第二，从学生来讲，小学阶段的学生思维发展处于感知运动和直观形象阶段，小学低年级和高年级都会有很大不同，学生处在这个独特的年龄段，数学的学习基本上是通过对生活经验的抽象、概括、提炼完成的，这个阶段的学习具有明显的横向数学化的特点，远不同于初中、高中与大学。正如史宁中教授所言：数学素养的培养，特别是创新人才的培养是"悟"出来的而不是"教"出来的；数学的结果是"看"出来的而不是"证"出来的。可以想象，会"悟"会"看"的底蕴是把握数学思想，会"悟"会"看"的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验）。[1]因此，需要教师设计合理的数学活动，并且需要透过数学语言的学习，让学生体验到数学的独特之处。第三，从数学课程改革来看，由传统"双基"变成了"四基"，加上了数学的基本思想和基本活动经验，形成了"四基"的课程目标。与传统的"双基"不同，基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，不言而喻，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。如何培养学生这种素养对小学数学教师的专业发展也是一种挑战。很多老师对双基的教学已形成惯习，通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧，考试取得好成绩，就短期行为而言，小学数学教师的这些教学方法是简便有效的。但是，这样的教学训练不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维的和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。因此，这样的教学训练将无法实现基于"四基"的课程目标。因此需要小学数学教师在教师专业发展方面做一个主动变革者，才能适应课程改革。

　　2.小学数学教师专业发展具有时间性

　　我们知道，教师的专业发展是嵌入在学校的日常工作中的，小学数学教师也不例外，从这点上来说，应认识到小学教师的专业发展是时间的结果。时间有量和序两个属性，从量上来看，小学数学教师要有足够的时间持续地用于专业思考与实践。从序来看，小学数学教师的专业发展是一个过程，很多学者关于教师专业发展阶段的研究早已证明。就教师个体而言，也许能够经历新手教师、胜任教师、熟练教师、专家教师几个阶段，也许只能停留在某一较初级阶段而结束其教学生涯，小学数学教师个体之间的差别很真实地存在着。

　　事实上，成为专家教师不仅是每一位教师的愿望，更是社会对每位教师的期望，因此我们讨论小学数学教师的专业发展是从愿望和期望作为起点。一个小学数学教师通常是从模仿上课开始走上教学之路，慢慢能独立上课，能分清知识点、落实重点难点，也渐渐学会了解学生，知道有些内容必须由教师讲解，有些内容学生可以自己学习等等。在他们的专业发展的动态过程中，专业发展的量和序对小学数学教师个体之间专业差别影响是比较明显的。舒尔曼（shulman，1987）指出，教师的知识并非一成不变的，而是有待教师自己不断地发现、创造和细化。[2]从现实角度看，这种发现、创造和细化需要教师有一定量的积累，因为教师专业成长其实是一个厚积薄发的过程，需要教师承认自己是学习者，且需要持久终身的学习。这种学习是在实践过程中不断丰富自己的实践性知识，已有研究也表明小学数学教师主要是通过自身的教学实践、教学反思和同伴的日常交流、观摩优秀教师的数学教学实践、有组织的专业活动获得实践性知识的发展。这些研修活动是教师专业发展量的积累过程，对于促进教师持续的反思发展是非常重要的。因此，小学数学教师的专业发展需要有实践性的量的积累。其次从序来看，小学数学教师专业发展的每个阶段专业需求是不一样的，比如新手教师在模仿阶段，需要的是教师所应有的教学习惯，这时对专业的追求主要是练好基本功。而胜任教师对专业的追求体现在教学设计上，能独立解读教材，知道知识点在哪里，并得以落实，但教学方式仍是以灌输为主。熟练教师对专业的追求体现在教学生成，他们有了充分的教学设计能力，也有了充分的学生经验，因此希望自己的教学有更多的生成。专家教师，对专业的追求体现在能进行一些数学教育的研究。所以，小学数学教师的专业发展也应按序进行有针对性的训练。 　　二、小学数学教师专业发展之核心

　　教学成功的教师往往精通具体学科教学法并拥有许多的隐喻、类比、例子、活动和实验等教学策略和表征形式。目前小学数学课程改革对教师挑战的不仅是课程内容，同时也是教学方法，教师必须具备不同以往的数学教学知识，这也是小学数学教师从事教学所应具备的核心要素MPCK，它影响着教师的教学行为，进而影响着数学课堂教学质量。有学者认为，数学教师专业发展的核心问题就在于发展他们的MPCK，这对数学教师专业发展的意义重大。[3]

　　1.MPCK之核心价值

　　针对 MPCK 对具体教学过程的作用，有学者认为，MPCK 弥补了仅仅关注教师的学历或学历资格带来的局限，实质性地提高了对促进数学教师所需要具备的知识的理解，产生了许多新的方法探查教师知识。[4]可见，MPCK 的价值主要体现在两个方面，从宏观上来看，MPCK 对于促进教师的专业发展作用显著，是数学教师专业发展的核心；从微观上来说，在具体的教学过程中，MPCK 实质性地提高了数学教师对知识与学生的理解。MPCK有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于数学教师进一步发展专业知识。这是因为：（1）MPCK影响着教师的数学教学行为，进而影响着数学教师的发展.可以说，教师具有的 MPCK 的多少决定着教师数学教学能力的大小。（2）MPCK具有定型作用，直接影响着数学课堂教学质量。教师一旦建构起自己的数学教学知识，就会内化为教师解释、认识、评价教学事件的框架和模型，并以这种框架或模型去分析、说明、论证、评价教学中的问题，以至于成为处理各种教学问题的原则和方法，对数学教学质量的影响非常大。[5]可见，针对特定主题、特定教师群体（如小学教师）的 MPCK 研究作为教师 PCK 研究的深化和延伸，对数学教师的意义重大，已成为数学教师专业发展的一个新视角。[6]

　　2.MPCK之核心结构

　　国内外学者都对MPCK的结构进行了探讨，并且提出了不同的观点。可以看出，基于中国小学数学的现状，国内研究者都强调 MPCK 中的两类知识：数学教学该如何呈现的知识、数学教学该如何解释学生遇到的误解和困难的知识。为什么这两个方面都引起大家的关注呢？我们可以从下面这个"盒子"比喻得到理解：

　　"当一个医生为一个出热疹的孩子进行诊断的时候，他的脑海里就会出现各种'盒子'：这是阳光暴晒引起的？是食物过敏引起的？还是麻诊？于是，医生就会根据孩子的各种症状来进行判断。如果他判断孩子的症状正属于麻疹的情况，那他就会把对此病的治疗归类于麻疹的'盒子'，从而确切地知道该怎么做。"[7]

　　其实对于小学数学老师来讲，脑子里也会这样类似的 "盒子"，当数学老师面对一个确定的主题教学内容的时候，脑子里就会闪现：是直接引入还是创设一个相关的情境，如果创设情境，这个情境应是什么样的？也就是怎样按有意义的顺序来组织和呈现这个内容？为了促进学生的理解又应该提供哪种或哪些形式的表征？是用解释、图形、符号、模拟还是操作？学生在这个数学内容的学习中会遇到什么困难？学生有哪些看法或误解？老师应怎样处理学生的困难和误解？面对这些问题，老师会基于已有的经验，对每一个问题做出判断，再对应相应的"盒子"，一旦确定是哪个"盒子"，教师就能够在课堂上随机应变，做出有益于学生的适当教学决策，教师的行为也就变得相当明确。

　　溯源Shulman（1986，1987）提出的PCK会发现，从结构上来说，Shulman提出的学科教学知识的两个主要成分是教师对学科知识的表征以及对学生特定的学习困难与概念的理解。而且，这两者是相互交织在一起的，教师拥有越多对学科知识的表征方式，且能越好地了解学生学习困难，那么他就越能有效地发展自己的学科教学知识。自Shulman提出 PCK 之后，许多研究者对其结构进行了研究，大部分研究者都认可 Shulman上述 PCK 的两个主要成分。

　　3. MPCK之核心应用

　　尽管中国学界和教育界越来越强调 MPCK 的重要性，诸多学者也开展了广泛的研究，但从已有的研究看，更侧重理论层面。国外关于MPCK的研究有很多题目并不适合中国教师，这是因为重视数学内容的严谨，目前依然是我们数学教育的特征。因此，我们讨论小学数学教师MPCK的实践应用不能忽视这个前提。MPCK研究更应结合具体的教学实践，深入教师的课堂教学，才能更凸显出其核心应用价值，也才能使MPCK真正成为小学数学教师专业发展之核心。

　　很多学者对专家教师MPCK进行了研究，如黄毅英教授结合MPCK结构模型，指出优秀教师MPCK的结构特征是：教学法知识灵活；内容知识丰富；教学内容知识多样。[8]还有学者对小学数学专家教师研究后认为，专家教师对数学知识具有深刻的理解，包括深层的概念理解与结构化的知识组织。专家教师倾向于用"问题解决"的观点看待数学学科与学生的数学学习。[9]这些研究给我们提供了一个思考的视角，要关注MPCK的核心应用，应关注如下的问题：

　　第一，直面学生的教学该如何呈现和表征特定主题的学习内容？举例来说，直线、射线、线段、角这些主题的内容学习对学生来说是有一定困难的，这是因为小学数学教学中涉及的点、线、面、体、角都是平直的，是基于欧几里得几何的。这些概念的特点是：看得见、说不清。事实上，越是基本的概念就越难说清楚，而小学数学中所涉及的概念基本如此，这就给小学数学教学带来了难度。在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，因此，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在。[1]这些内容通过怎样的呈现和话语策略表征出来？这应是MPCK之核心应用所在。比如认识角，对于小学低年级学生，认识角要比认识线段更困难一些，因为在开始阶段，角的指向并不很明显。因此，一个好的呈现和表征方式有助于学生的理解。 　　例如：[1]设计一个教具：只有时针、分针，没有时间刻度的"表"。教师拨动分针让学生辨认时间，比如，以12点为基准：12点、12点15分、12点30分、12点45分。凭借生活经验，学生应当可以通过分针与时针之间夹角的大小辨认出时间，因此，可以通过教学活动让学生清晰地感悟到：时间是由分针和时针之间的"夹角"所决定的。特别是对于钝角的情况，即12点45分的情况，教师必须帮助学生思考清楚：夹角的具体含义是什么。于是，教师可以总结说："我们把分针与时针所夹部分叫作角，把分针和时针叫作角的边。"

　　这个老师通过教具"表"来呈现和表征"角"，通过几个时间点感受角的大小的变化，让学生对角的指向有直观感受。同时配合话语表征，教师由角的具体描述过渡到角的一般定义，可以让学生感悟定义的抽象过程，有利于学生清晰地把握角的概念。数学教学内容是教师专业发展的必然焦点，教师在教学这些内容时，一定要明晰学习活动所指的事物是什么，也要考虑学习者如何理解它。

　　第二，直面学生在学习具体的内容时可能出现的迷思概念和困难如何澄清和解释？举例来说，学生在学习三位数乘两位数内容时，学生会出现计算错误，教师面对学生的计算错误，不能单纯地归因学生粗心，教师应该让学生说出计算的过程和想法，从而找出学生出现迷思的原因，是数字识读？是书写习惯？是进位时的瞬时记忆？是乘法口诀错误？还是计算程序问题？学者Fenema，Capenter，Franche&Carey（1992）探讨过一些基本的数学运算过程，并通过观察发现，即便是幼小的学童也能在教师的适当引导下解决相当复杂的数学问题，最重要的是教师能够透彻了解数学原理，并能在学生解题过程中摸清学生的思路。[10]因此，针对这样内容的教学，教师要分析学生理解数学运算的过程，再以此调整自己的教学，帮助学生澄清迷思。所以讨论教师的MPCK在课堂教学应用时，我们要多关照教师是如何诊断学生的错误观念的？特别是当学生出现数学理解上的迷惑时，教师采取了哪些适当的策略。Cobb 和Steffe（1983）认为学习者与教学者的认知结构和学习能力是不同的，教师无法将自己所拥有的数学知识直接移植给学生，所以教学要有成效，需要去找到能和学生沟通的方法。[11]MPCK的核心应用体现的就是这种有效的沟通方法。

　　三、小学数学教师专业发展之方略

　　伴随课程改革，小学数学教师专业发展的方式也多元起来，但是一窥其中，就会发现真正简单有效能促进小学数学教师专业发展的方式仍是以往一些做法的延展。前面已谈到小学数学教师专业发展有其独有的特质，针对其独特性，要厘清教师专业发展与小学数学教师专业发展之间的疆界和内在关系，而小学数学教师的专业发展更应体现数学味。基于此，小学数学教师的专业发展也应当有体现其学科特点相应的方式与策略，重点关注以下两种方式和两种策略。

　　（一）小学数学教师专业发展之有效方式

　　教师专业发展的方式虽多元，但就小学数学教师的实践而言，最有效的方式是参加校内外小学数学领域的研修活动和数学教师专业学习团队。因这两种方式在实践中具有可操作性和普适性，而且在这个过程中教师要与专业对话、与同伴对话，要进行自我省思。

　　第一，小学数学领域研讨活动。实际上，很久以来，课堂教学研讨活动一直是学校活动中最重要的，基本都是通过教学观摩的方式，让教师观摩他人数学教学的方法来增进数学教学专业成长。这种研讨活动不会在时间上给学校和老师带来困扰，也是最受老师欢迎的。只不过是随着课程改革的推进，这种研讨的形式与内容更加丰富。这种传统的研讨活动其实一直是小学数学教师专业发展一种最普遍最适切的方式。无论过去或现在还是将来，只要小学数学教学研讨活动进行得有品质、有效果，就能够实质性地帮助小学数学教师的专业发展。以数学领域研讨的内涵来看，不论是校内的还是校外的，或者是哪个级别的研讨活动，不外乎都是围绕有关小学数学课堂教学、小学数学课程改革与发展作为主题。特别是一些校本的研讨，能基于本校学生的现状解决问题，使教师的这种专业学习不会出现"南桔北枳"的现象。在这种研讨活动中，一定要有专家的引领或专业领军人物的引领，如果教师间的听课观摩不能深入展开，听课后的评课环节较粗糙或流于形式，就会影响小学数学教师专业发展的实效。因此，参与教师是否愿意分享与参与讨论也是促成教师在数学研讨中获得专业成长的关键，专家的智力支持也不可或缺。在中国，小学数学领域研讨活动的流程已形成一个系统，在这个过程中，教师的教不仅基于学生的学，而且也在教的过程中不断反思。所以，这种研讨活动不仅是一次单一的教师专业发展活动，也有助于营造一种同伴间合作的文化，这种文化能促使教师乐于分享，彼此观摩，并接受建设性反馈。

　　第二，数学教师专业学习社群。教师需要有专业发展，但由于其个体视野的局限性，因此教师学习社群对教师专业发展是非常必要的。一些研究也发现，数学专业学习社群可促进小学数学教师更深入与具有挑战性的数学对话，也能提高小学数学教师对教学叙述的质量，尤其通过分享与讨论，能更进一步提供小学数学教师多样的教学法，也能实现教师个体学习和教师团队学习的互动，因此成为促进小学教师的专业发展有效的方式之一。特别是新课程改革以来，以部分名师为领军人物的数学教师学习团队（或工作室）在各地大量出现。从这些数学教师专业学习社群运作来看，专业学习特色明显，主要体现为在名师的引领下积累小学数学教学的经验，在讨论加反思过程中，发展小学数学教学的方法，增加对学生学习认知的了解以及认识教材发展的脉络，建立起一个小学数学教学专业对话的机制，促进教学反思，协助教师改善教学现况，提升数学教学质量。在这个专业学习团队中，同伴间相互学习的机会得到提升，不同教师对于数学内容和教学方式各有不同的理解，对于一个具体数学教学内容的交流讨论，能生成恰当且多样的教学表征，这一点从很多团队同课异构的教学中已表现出来。通过对话能使由经验得来的那些隐性知识清晰化，并能帮助教师重构他们的MPCK。如何鼓励教师组织数学教师成长团体，通过教师本身的专业对话与反思的历程增进其数学教学专业发展，是当前学校和各级教师进修学校建构教师专业发展环境的重要议题。 　　（二）小学数学教师专业发展的策略

　　1.倡导MPCK的案例分析

　　案例是沟通数学教育理论与数学教育实践的桥梁，为教师提供了理解"实践情境"的机会。从教育哲学的角度来看，认知的最好策略之一便是"结合实践的对话"。数学教师的MPCK是教师的核心知识， 影响着教师的教学行为、教学策略， 并最终影响到教学效果和教师的专业化发展。从这个意义上来说，MPCK 案例研究是从教师个人的实践角度去理解数学知识、理解数学教学理论的一次学习过程。张奠宙教授指出 MPCK 研究需要倡导草根式研究，让一线教师有话语权，结合数学课程改革与课堂教学，走中国特色的研究之路。[12]MPCK 的案例分析就体现了这种诉求。首先是提炼专家的MPCK。虽然教师的MPCK具有一定的个体性和内隐性， 但我们仍然可以通过专家教师的课堂发现其MPCK的特点， 这些特点可以被研讨、模仿和内化为其他教师的MPCK， 这将有助于提高教师的数学理解和教学表征能力，促进其教师的专业化发展。在提炼的过程中，我们要关注专家教师是如何应用MPCK呈现和表征具体教学内容的？当学生学习产生困难或有迷思概念时，做了哪些有益于学生的适当决策？他们是怎样提升与深化自己的MPCK？这些有关小学数学专家教师MPCK的分析，可以有助于其他教师鲜活地学习小学数学教学卓有成效的方法。其次是MPCK课堂教学案例的对比分析。MPCK原本就是一种实践性知识，它的生长离不开课堂教学实践。同课异构其实就是很好的MPCK课堂教学案例对比分析的形式，尽管教学内容完全相同，但不同数学教师的MPCK的差异，导致教学效果不同，多做这样的对比分析，可以帮助老师找到教学的最佳设计思路，以及解决学生学习困难的最优方法，做出最有效的教学决策。同时也可以帮助教师更准确地发现自身教学中的不足，促使其在反思中丰富自己的专业知识，提高自己的专业水平。在课例对比分析中，可以思考这样一些问题，如教师是如何运用 MPCK 突破课堂教学重点与难点的？教师是如何诊断学生的错误观念的？在数学教学设计中，MPCK又是如何体现的？

　　2.参与小学数学教学研究

　　已有的研究表明，教师从事教学研究，是促进教师自身专业成长的有效策略，可以让教师通过反思与自我意识，对教学行为有系统性了解，增进教师的专业判断，提高教师的专业自主。教师教学工作的特殊性也决定了教师参与研究的必然性。这种研究能帮助教师理清来自经验的一些误解，可以避免教学决策仅凭经验，因为很多时候，仅凭经验是不够的。教学研究离教师并不遥远，小学数学教师在自己教学中会有困惑、困难以及现实世界的一些冲突，工作中也会有许多"不知道"和"想知道"的问题，这些都会激励教师去探索。因此，应鼓励小学数学教师开展一些微型课题的研究，内容主要应以自己的教学活动为主，不是为了提出某个新理论或对某些理论进行阐释。研究目的应以解决教学中的实际问题，提高教学的有效性为主。可对数学课程标准的内容、数学教材、数学教学方法等方面，研究小学数学教学中"为什么教""教什么""怎么教"与"教得怎样"的问题，进而促进教师从微观上对数学知识准确深刻理解；从宏观上对数学知识整体结构及数学知识"来龙去脉"的过程能正确把握；对显性知识背后隐性的思想方法有清晰认识；对小学数学中某些拓展性知识有所了解。达到促进小学数学教师形成正确认识，获得深层理解，拓展学科知识，提高教学能力，这样能促进小学数学教师MPCK的生长，提高数学教师的专业素质，使数学教师的教育智慧得到充分的发挥。