理学论文：谈行列式、矩阵进入中学数学课程的必要性与可行性

 　经过诸多专家、学者、教育工作者悉心研究、讨论，新的《高中数学课程标准》（以下称《标准》）已经公开发表。《标准》在原《大纲》基础上，对某些认识、内容作了大手笔的修改和创新，其中有关具体教学内容的处理与安排是一个重要问题，值得我们仔细研讨。

　　一、行列式、矩阵进入中学数学课程必要性

　　我们知道微积分和线性代数是近代数学的两大支柱，大量的理论及实际应用问题可以通过"线性化"变成线性代数问题。矩阵实际上是很抽象的，但把矩阵研究清楚之后，学生如果想继续学习数学一些知识，那矩阵又将作为一个具体的实例出现，所以说它具有广泛的应用性，还有一个基础性作用，是其他学科一些基础知识不能替代的。因此让高中学生学习一些线性代数的初步知识，主要是行列式与矩阵的基本概念与运算，对于培养和提高中学生的数学素质与能力有多方面的功效。

　　1.有利于提高学生的抽象概括能力与逻辑推理能力

　　例如学生在以前会用代入法、加减法解具体的二元、三元线性方程组，但这只涉及对线性方程组进行某些变形与消元运算的具体方法技巧 ，并没有一般地考虑如何用线性方程组的系数表示解，而二阶、三阶行列式概念正是由解字母系数的线性方程组导出其公式解后形成的。通过对二、 三阶行列式概念形成过程以及行列式基本性质的学习，可以有效地提高学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。同样地，通过对矩阵概念及其运算规则的学习，也有助于学生抽象概括能力的提高。

　　2.有利于提高学生的数学计算能力

　　无论是行列式的计算，还是矩阵的运算，都需要具备较高的计算能力和一定的技巧，通过这些计算，有助于学生养成认真、耐心、准确、细致的计算习惯和有效提高数学计算能力。

　　3.有利于数学应用能力的培养

　　例如学习矩阵知识可用于解决解析几何中图形变换、物资调配等实际问题。

　　4.有利于领悟与把握数学知识的联系

　　例如行列式 与多项式、行列式与矩阵、矩阵与向量、矩阵与几何变换等都存在密切联系。

　　5.有助于使学生逐步形成与掌握近、现代数学的观念与方法

　　由于解线性方程组是数学中相当基本的东西，行列式与矩阵又是研究线性方程组的基本工具， 而且向量又可看做是一种特殊矩阵。因此，行列式与矩阵的初步知识对高中学生来说是比较基本的，对培养学生现代数学的思维是非常好的载体，能够让学生在中学阶段就尽早接触和了解一部分高等数学的知识和内容，开拓了学生的数学视野。

　　二、行列式、矩阵进入中学数学课程可行性

　　课本是通过对二元线性方程组求解的讨论，引入行列式的概念，定义了矩阵的加减法和乘法，讲解了线性方程组的矩阵解法，分析了图形变换与矩阵运算。在高中阶段，由于学生知识水平的限制，我们只限于二、三阶方阵，对具体的二阶方阵研究，主要是研究它与平面向量的乘法以及二阶方阵自己的乘法。那么又由于二阶方阵与平面向量乘法具有非常明显的几何意义，因此我们只需突出它这几何意义，并且从几何意义的角度来讲，我认为学生能够从几何上直观的去感受矩阵的相关运算性质。

　　实际上作为大学的一个非常抽象的内容，它引入到高中作为一个专题来进行教学的话，对于高中的学生是有一定困难的。这个困难我想可能来自于几个方面：

　　一个方面它作为一种新的运算对象，从它的对象的表示形式以及运算的定义上来说，对学生都是非常新颖的，从运算的规律性看，学生也是首次遇到在乘法运算中不符合交换率的这样的一种运算。因此这个在学生第一次接触到之后，会感到一些陌生，会感到一些不适应。那么这个就需要学生有一个慢慢的熟悉过程，例如课本例1：

　　1.例1某公司负责从两个矿区向三个城市送煤

　　让学生初步通过具体的矩阵和具体的点、具体的向量来初步体会，从感性上加以认识，但是并不给出具体的定义，再让学生初步通过运算去感受在这运算下的一些不变性质，并给出一些特殊的例子让学生先认识。再引导学生进行抽象概括，这样讲起来可能会更好一些。例如在前面介绍一些具体的矩阵变换过程，比方说常讲的压伸、旋转、反射等等这些变换，有两个角度，一个是几何的角度，选择了第一象限内的一个"F"，在这个变换下变成一个什么样的图形。那么第二个角度可以从代数的角度来体会，第一个坐标变了没有？第二个坐标变了没有？第一个坐标变了多少？第二个坐标变了多少？第一个坐标的变化？是由第一个坐标产生的？还是由第一个和第二个坐标混合产生的？等等。在最后，把变换总结起来，通过实例对矩阵是一个线性变换进行认识。

　　学生对于特征向量和特征值本质的理解和特征向量和特征值运算求解。因此在解决这个难点上，可以采取一种分散难点的办法来处理这个专题。学生会慢慢适应到这个过程中来，其实课本也是按照这个思路编排的。其实，我们还可以从另外角度去看，就是现在社会上有几种版本的不同教材，最好能把几种版本的书籍放在一起进行对比，看一看他写的相对比较好的地方，这样集中处理可能效果会更好一点，便于学生把克服这个难点。

　　综上所述，行列式与矩阵的初步知识内容不但符合中学数学教材所依据的"基本 、有用、能接受"的标准，同时也符合高中数学教材现代化的世界潮流，而且这部分内容在中学也是有一定教学基础。因此我认为，在高中教材中编入行列式与矩阵内容是必要、可行的。