理学论文：培养分散思维能力 提高数学教学质量

 在数学教学实践中，我们认为不仅要培养学生逻辑推理能力、运算能力和空间想象力，还要培养学生的分散思维能力。

　　1 关于分散思维

　　分散思维又叫发散思维和辐射思维。这个概念最早由武德沃斯于1918年提出。后来，吉尔福特在"智力结构的三维模式"中更明确地把发散性思维和集中性思维作为智力操作明确地提了出来。所谓分散思维就是沿着各种不同的方向去思考，重组眼前的信息和记忆系统中的信息，产生新的信息，它是创造性思维的主要成分。因此，心理学家们在测验一个人的创造力的时候总是测量分散思维水平。通常测验的项目分下列几项，我们可以把它们看做是对分散思维的具体说明：（1）单字联想测验：给你一个普通的单字，要你说出尽可能多的定义。在数学上就是对一个数学名词，比如平行四边形，请你给出尽可能多的定义。（2）物件用途测验：给你一个普通物品，要你说出尽可能多的用途。在数学上就是对某一概念、定理、公式，说出尽可能多的应用。（3）隐蔽图形测验：给你一张卡片，上面有简单的几何图形，要你找出另一个或几个隐蔽起来的图形。（4）寓言测验：给你一个没有结尾的短寓言，要你给它写出不同的结尾。这相当于数学上的给出有关问题的已知条件，让我们对结论进行讨论。

　　2 用分散思维指导，研究数学各科之间的联系

　　中学数学分几何、代数、微积分初步等学科进行教学。这样做有利于知识系统性的构建。但是，各学科之间的联系，自然就成了薄弱环节。怎样加强联系就成为提高数学教学质量的关键课题。如果我们认真研究一下就会发现，数学各科之间复杂纷纭的相互联系，从心理学的角度去看，所用的思想方法就是分散思维。比如，我们研究导数和微分，用分散思维考虑问题，就会发现它在代数、几何中应用非常广泛。

　　用于解析几何：（1）求切线的斜率。（2）求有心圆锥曲线的中心。（3）求圆锥曲线动弦中点的轨迹。

　　用于代数：（4）讨论函数的性质，画函数的图像。（5）求函数的极值。（6）证明不等式。（7）求某些数列前几项的和，如求1+2x+3x2+…+nxn-1。（8）求某些组合数的和，如求Cn1+2Cn2+…+nCnn。

　　用于立体几何：（9）给出"球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆被它们所分成的两个弧中较小的一个弧长"的非常简洁的证明等。

　　用分散思维考虑问题以后，我们对导数、微分的认识时就会上升到一个新的高度。总之，在数学学科之间，当我们自觉地用分散思维去研究它们之间的联系，在我们的面前就会出现广阔的研究前景和众多的课题。比如：（1）平面几何在解析几何、立体几何中的应用。（2）解析法证题。（3）三角在几何中的应用。

　　（4）等量代换在代数、几何、三角中应用。这样做能开阔视野，提高学生综合运用所学知识的能力，从而提高解决问题的能力。

　　3 用分散思维指导教学，避免呆板重复

　　数学复习课难教，原因何在？在于复习课容易犯简单重复的毛病。从心理学的角度看，单调的刺激使神经细胞群由兴奋转入抑制，不仅对记忆无益，还会有碍于大脑的活动。赞科夫主张：每次复习都应从新的角度使旧教材重现，这比简单重复有效得多。用分散思维指导教学活动，可以有效地克服复习中的机械重复，使"旧材料从新的角度重现"。

　　基于以上认识，我们在教学一个基本概念时，不要求一次完成，而是逐步完成。

　　在上复习课时，用分散思维指导专题设计，进行专题复习。从不同的角度去研究一个问题，使得对它有一个全面的认识，用提高知识水平的方法提高解题能力。

　　4 用分散思维指导学习，克服死记硬背

　　我们不但用分散思维指导教学，也要用它指导学生学习。平时教学除了抓紧"双基训练"外，还应要求学生做到：（1）注意对概念、定理、公式的理解与应用。（2）注意综合运用代数、几何、三角知识，寻求问题的不同解法。（3）注意在解题时把形和数结合起来，克服死记硬背现象。教材中讲的是利用三角形面积公式

　　在讲解正弦定理的应用时，教材主要讲用它解斜三角形，我们指出，因为正弦定理给出了三角形的边、角以及外接圆半径之间的关系，因而使我们能用它把三角形的边用角表示出来，把角用边表示出来。因此，利用它解斜三角形仅仅是正弦定理的应用的一个方面。它在几何、代数上还有更广泛的应用，这就引起学生把正弦定理用于平面几何的兴趣。在高中数学教学中，我们应继续引导学生把正弦定理用于代数、解析几何和综合练习中去。

　　用于代数：例1：在△ABC中，计算行列式

　　D=a sinA b-cb sinB c-ac sinC a-b

　　略解：设△ABC外接圆半径为R，则

　　用于解析几何：例2：∠MON=60°，连长为a的正三角形ABP在∠MON内滑动（不能翻转），使得A始终在OM上，B始终在ON上，求点P的轨迹方程。

　　略解：以O为原点，以OM为X轴建立直角坐标系，设点P坐标为（X，Y），∠PAM=α。

　　消去参数即得点P轨迹的普通方程：

　　用于综合练习：例3：在中心角为2α，半径为R的扇形中，求内接矩形的面积的最大值。（解题过程略）

　　总之，当我们用分散思维作指导，引导学生探求正弦定理在代数、几何、三角中的应用时，就会不断有新的发现，使学生认为正弦定理的应用非常广泛。这样，学生对正弦定理的理解就会越来越深入，运用越来越灵活，也就会逐渐克服了思想上对正弦定理认识上的僵化和局限。