理学论文：高三数学复习课的开场戏:知识梳理

 引言

　　近几年，我一直在高三教学，高三数学复习课的套路一般如下：知识梳理―基础自测―典型例题―变式训练―课堂小结。有个问题一直困惑着我，那就是如何更有效地开展"知识梳理"这个环节？以前大多数老师在黑板上罗列知识点、知识结构图，现在有些教辅资料编写以填空的形式进行知识梳理，可以省去在黑板上板书的时间。我一直在思考这些问题，这样进行知识梳理学生需要吗？对学生解题有帮助吗？为此，我在学生中做了个简单的问卷调查，发现大部分学生认为需要进行知识梳理，但老师的梳理方式对他们来讲就像放了一场电影，没留下太深的印象，在解题中似乎没起到多少作用。由此可见"知识梳理"这环节非常重要，但如何提高它的有效性呢？我在实际教学做了尝试，现与同行分享。

　　1.以问题为中心，在探究中加深对知识的理解

　　在高三数学一轮复习中，有不少核心概念复习课。教师如果对核心概念的教学理解不深，就很难对内容进行解析，学生如果未能真正理解概念、掌握公式，当他独自面对问题时，常常不知道何时用、如何用此概念，从而影响学习目标的实现。我对于核心概念课做了这样的尝试：提出一个简单的问题，解答后让学生反思这个问题，在学生的反思中寻找知识点，形成知识结构，并在学生的反思中提炼思想方法。这样做能有效避免教师枯燥地复述概念，当然，最关键是如何设置一个既能复习知识点又能紧扣本节课中心的问题。

　　案例1：向量的数量积

　　问题1：已知向量■与向量■的夹角为θ，分别在下列条件下求■?■

　　（1）θ=135°？摇？摇（2）■∥■？摇？摇（3）■⊥■

　　这是书上的一道例题，用它作为问题1有以下意图：

　　1.多角度认识公式，引导学生对概念本质的理解；

　　2.从公式角度看，向量的数量积是实现由向量到数量的重要工具；

　　3.全面理解两向量夹角的范围。

　　问题2：已知向量■=（1，2），■=（2，-1）

　　（1）求|■+■|和|■-■|

　　（2）k为何值时，向量k■-■与向量■+■垂直？

　　（3）k为何值时，向量k■-■与向量■+■平行？

　　（4）k为何值时，向量k■-■与向量■+■夹角为60°？

　　（5）k为何值时，向量k■-■与向量■+■夹角为钝角？

　　这是由书上的一道习题改编的，主要用来让学生综合应用数量积的向量公式与坐标形式，进行向量的模的求解，垂直、平行位置关系的判断，夹角公式的应用。其中（4）（5）两问是难点，如何攻克，不是以老师灌的方式实现的，而是学生板演―发现漏洞―共同探讨―问题解决这样一个流程，大大提高了学生课堂参与度，培养了学生的观察能力、表达能力和思维能力。

　　在一轮复习中，我们可以充分利用课本的例题和习题对概念充分挖掘，使学生由"懂"到"会"，由"会"到"熟"，由"熟"到"活"。如果公式认识不到位，学生就用不到位。

　　2.在概念易混易错处有效变式，加深对知识的理解

　　对于有些难以理解、易混易出错的概念，不能就概念讲概念，要针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过对这些问题的讨论与解决，达到明确概念本质、深化概念理解的目的。有一次，我复习完映射的概念，强调了"任一性"与"唯一性"，并让学生分析了映射与函数的异同点。我自以为讲得很深刻，后来我在书本课后习题中找了一道题目来练手，才发现学生对这个概念理解的根本不透彻。我思考了很久，决定设计两个问题，通过变式训练再一次强化映射的概念。

　　案例2：映射的概念

　　问题1：若A={a，b}，B={1，2}，

　　则（1）A到B的映射可能有多少种？

　　（2）A到B的一一映射可能有多少种？

　　由问题1引导归纳：对于映射，A中无闲元，B中允许有闲元；可以"一对一""多对一"，但不可"一对多"。

　　问题2：若B={-1，3，5}，试找出一个集合A，使得f：x→2x-1是

　　（1）A到B的映射。（这就是我让学生做的书本上的一道课后习题，当时所有的学生答案都是一样的，即A={0，2，3}，后来在师生的探讨下，得出本题有七个不同的答案。）

　　（2）B到A的映射。

　　变式1：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照该映射，写出一个以x为自变量，B为值域的函数是？摇？摇？摇？摇？摇。

　　变式2：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照该映射，写出一个以x为自变量的函数是？摇？摇？摇？摇？摇。

　　通过这件事，我意识到要引导学生注意概念的关键点，辨析易混淆的知识点，老师要动脑围绕重点设计变式题，帮助学生深刻理解概念。

　　3.利用结构相似构造类比，加深对概念、性质、公式的理解

　　类比思想是指根据两个对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面可能相似或相同的思想。等差数列与等比数列是数列中的两种最常见的而又是最基本的重要数列，教学中若能根据它们的异同点，抓住基本特征运用类比思想去处理，则十分有益。

　　案例3：根据等差数列的定义易得到等差数列有如下性质：

　　（1）a■+a■=a■+a■=a■+a■=… 　　（2）a■=a■+（n-m）d

　　（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），则a■+a■=a■+a■

　　（4）若等差数列共有3n项，且前n项和为A，次n项和为B，末n项和为C，则A+C=2B，即A、B、C成等差数列。

　　在等比数列的性质复习中，启发引导学生自主利用等比数列定义及等差数列的区别，运用类比思想不难得出等比数列相应的性质：

　　（1）a■a■=a■a■=a■a■…

　　（2）a■=a■q■

　　（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），则a■a■=a■a■

　　（4）若等比数列共有3n项，且前n项积为A，次n项积为B，末n项积为C，则AC=B■，即A、B、C成等比数列。

　　通过类比教学，学生在思维得到训练的同时，也品尝到了发现知识的乐趣，并且知识得到了牢固记忆和掌握。在高中数学中，可以应用这样的类比思想进行教学的知识点比较多，如指数函数与对数函数、椭圆双与曲线等。

　　4.充分利用学案，盘点琐碎知识点

　　对于较琐碎的知识点，可以以填空题的形式给出，穿插小题练习。我们可以利用学案的形式，梳理知识要点，配上一些填空，量稍微多一些，内容简单一些，帮助学生进行课本复习是一种很有效的方法。但是知识梳理不能长篇大论，要小巧精干，一节课有一节课重点掌握的知识点，本节课没涉及的知识点不编入知识梳理，因为知识梳理太长的话学生会有厌烦心理，那么归纳得再详细也都成了一纸空文，没有任何意义。如复习平面向量的概念这部分时，向量的定义、表示、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等内容较碎，可逐一用小题巩固每个概念，让学生先激活这部分的记忆，再通过一些典型例题深化对每个知识点的理解，达到强化巩固的目的。

　　5.上好章节复习课，阐明知识系统，掌握内在联系

　　以前老师喜欢在一章节的起始课就把本章的知识结构告知学生，使学生对接下来要学习的东西做到心中有数。现在我在每个章节结束时，要求学生再看一遍课本，对基础知识、基本技能进行梳理，构建知识网络，使之达到系统化、结构化、完整化，然后在课堂上交流，分析哪些是本章必须掌握的知识要点和重点，对涉及的公式、定理的来龙去脉，对知识要点的内涵和外延的理解由学生互相探讨，并且交流为落实知识要点的精选例题，然后由老师加以点评补充。只有这样，学生对概念和定理的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的，应用起来才是灵活的、广泛的。

　　结语

　　如今的高三数学复习课，老师们非常重视解题教学，对这方面的研究比较深刻，而对于知识梳理方式没有做过多的研究。通常对知识进行表象化，回忆性地解读几点，浅层次、再现式地归纳几条，让学生记住。这种教学方法使学生的记忆力发挥到了极致，但很难让学生对学习产生激情和热情。这几年我一直教学高三，通过对"知识梳理"这个环节的教学方式的尝试，认为教师对于知识梳理的方式要多样化，要针对知识点的特点寻求不同的梳理方式，再有教师要站在数学整体的高度引领学生对主干、核心知识进行梳理整合、归纳总结、挖掘拓展，这样才能保持教学持久的新鲜感和学生浓厚的学习兴趣。