理学论文：“以错纠错”的案例分析

"以错纠错"的案例分析

文／罗增儒

　　在文［1］中，笔者认为："学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学"．下面发生在特级教师身上的"以错纠错"现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．
我们先引述3处典型做法．
例1　若 （3ａn＋4ｂn）＝8， （6ａn－ｂn）＝1，求 （3ａn＋ｂn）．
由

　　得

　　①×2－②，可得
并求得 ａn＝4／9．
这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若 ａn＝Ａ， ｂn＝Ｂ，则才有（ａn＋ｂn）＝ ａn＋ ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由 （3ａn＋ｂn）＝8，
不一定保证 ａn与 ｂn存在．比如
则有 （3ａn＋4ｂn）＝8，
正解： （3ａn＋ｂn）＝（1／3） （3ａn＋4ｂn）＋（1／3） （6ａn－ｂn）
某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．
2.数学通报1999年第11期（Ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授"数列极限的运算法则"一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：
当时有位学生提出这样一种解法：
 （2ａn＋3ｂn）＝2 ａn＋3 ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5，　　①
联立①，②解得
∴ （ａn＋ｂn）＝ ａn＋ ｂn＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．
随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断 ａn和 ｂn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用"待定系数法"求解．
ａn＋ｂn＝（2ｘ＋ｙ）ａn＋（3ｘ－ｙ）ｂn，

　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．
∴　 （ａn＋ｂn）＝ ［（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）］＝（2／5） （2ａn＋3ｂn）＋（1／5） （ａn－ｂn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．
3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见文［7］Ｐ．342，本文记为例3）：
误解：∵ （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，

　　①×2＋②×3，得
∴ ａn＝2．
 ｂn＝1．
正确解法：设ｍ（2ａn＋3ｂn）＋ｐ（3ａn－2ｂn）＝ｋ（2ａn＋ｂn）．

　　由式①、②消去ｋ，得
∴　　4ｍ＝7ｐ．
∴　2ａn＋ｂn＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn）．
错因分析与解题指导：已知 （2ａn＋3ｂn）＝7， （3ａn－2ｂn）＝4，并不意味着ａn、 ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则： （ａn±ｂn）＝ ａn± ｂn，默认ａn与 ｂn存在，这是错误的．要求 （2ａn＋ｂn），就必须将2ａn＋ｂn去用（2ａn＋3ｂn）与（3ａn－2ｂn）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问："由题设，真的不能判断 ａn和 ｂn是否存在吗?"回答是否定的．教师的"纠错"比学生错得更多．
我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
（1）知识性错误
（2）逻辑性错误
（3）心理性错误
由于在已知条件下，ａn与ｂn的极限确实存在，所以，学生的错误属于"对而不全"，缺少了关键步骤．
2.教师认为"不一定保证 ａn与 ｂn存在"是不对的
命题1　若 （α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1， （α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2，
 ａn＝ｃ1β2－ｃ2β1／α1β2－α2β1， ｂn＝α1ｃ2－α2ｃ1／α1β2－α2β1．
ａn＝ｘ（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）
令

　　解得　ｘ＝β2／（α1β2－α2β1），ｙ＝－β1／（α1β2－α2β1）．
 ［x（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）］
＝ｘｃ1＋ｙｃ2＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）．
同理可确定ｂn极限的存在性，并计算出
（1）取α1＝3，β1＝4，ｃ1＝8，α2＝6，β2＝－1，ｃ2＝1，可得 ａn＝4／9，ｂn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出
＝（1／27） （3ａn＋4ｂn）＋（4／27） （6ａn－ｂn）＝8／27＋4／27＝4／9．
＝（2／9） （3ａn＋4ｂn）－（1／9） （6ａn－ｂn）＝16／9－1／9＝5／3．
 ａn＝（1／5） （2ａn＋3ｂn）＋（3／5） （ａn－ｂn）
 ｂn＝（1／5） （2ａn＋3ｂn）－（2／5） （ａn－ｂn）
（3）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝7，α2＝3，β2＝－2，ｃ2＝4，这便得例3，确实有ａn＝2， ｂn＝1．
3.反例"ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4"的错误根源
（1）检验可以发现错误
 （3ａn＋4ｂn）＝ 8＝8．
不存在，更不等于1．
（2）误举反例的原因分析
②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
则有
（ｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1＝0时，则ａn，ｂn的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）
这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．
4.试作一个探究性的教学设计
（1）提出问题，暴露学生的真实思想．
（2）反思，引发认知冲突．
（3）分两大组自主探索，自我反省．
（4）得出 ａn、 ｂn的求法．
①求 ａn＝…＝4／9；
③求 （3ａn＋ｂn）＝…＝3．
引导学生认识到：
②先分别求 ａn、 ｂn，再合并得结论 （3ａn＋ｂn）有思维回路：

　　 　 （3ａn＋ｂn）．（合）
 （3ａn＋ｂn）＝ ［（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn）］
（6）探索一般性．
②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α1β2－α2β1≠0）；
（7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．
1　罗增儒．解题分析--谈错例剖析．中学数学教学参考，1999，12
3　赵春祥．从整体结构上解数列题．教学月刊·中学理科版，1998，10
5　赵春祥．思维定势消极作用例说．中学数学研究（广州），2001，5
7　杨浩清主编．数学题误解分析（高中）．南京：东南大学出版社，1996
9　许育群．解数列与极限问题的几类错误浅析．数理化学习（高中版），1997，22
11　童其林．例谈待定系数法在解题中的应用．考试，2000，4