理学论文：“简易逻辑”教学中存在的问题——兼答《关于命题的困惑》一文中的“困惑”

 1　关于命题的两个定义 
?　关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题．这两个定义都不严格．两个定义中使用的"判断"一词，与语文中通常的意义不尽相同．在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假．所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假．例如语句"4的平方根是2"，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题． 
?　2　关于"或"、"且"的含义 
?　复合命题"p或q"与"p且q"是用逻辑联结词"或"与"且"联结两个命题p与q，既不能用"或"与"且"去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论． 
　　例1　（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1； 
　　q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2， 
　　写出"p或q"． 
　　（2）p：四条边相等的四边形是正方形； 
　　q：四个角相等的四边形是正方形， 
　　写出"p且q"． 
　　错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形． 
　　分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以"p或q"、"p且q"也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题．错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件． 
　　正确的答案是： 
　　（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2． 
　　（2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形． 
　　这两个命题都是假命题． 
　　但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的． 
　　例2?已知p：菱形的对角线互相平分； 
　　　　　　 q：菱形的对角线互相垂直， 
写出"p且q"． 
　　解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直． 
　　这个命题中括号内的部分可以省略． 
　　文［1］中"4的平方根是2，或4的平方根是-2"，就不能简写成"4的平方根是2或-2"． 
　　3　关于"非"的含义 
　　"非"的含义有下列四条： 
　　3．1　"非p"只否定p的结论 
　　"非"就是否定，所以"非p"也叫做命题p的否定，但"非p"之"非"只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是"非p"与否命题的区别．所以欲写"非p"应先搞清p的条件与结论． 
　　例3　p：有些质数是奇数．写出"非p"． 
　　错解：有些质数不是奇数． 
　　分析：因为p是真命题，所以"非p"应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是"质数"，结论是"有些是奇数"，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，"非p"：质数无奇数． 
　　不是用"不"否定"是"，而是用"无"否定"有些是"． 
　　例4　p：方程x２－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出"非p"? 
　　错解：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有两个不相等的实根． 
　　分析：命题p的条件是"方程ｘ２－5ｘ＋6＝0"，结论是"有两个相等的实根"，所以"非p"应否定"有"，而不能否定"相等"，所以"非p"应为：方程x２－5x＋6＝0没有两个相等的实根． 
　　3．2　p与"非p"真假必须相反 
　　例5　写出例1（2）中命题p的否定"非p"． 
　　错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形． 
　　因为p是假命题，"非p"必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是"非p"．
　　正确答案为 
　　"非p"：四条边都相等的四边形不都是正方形． 
　　"是"的否定有时为"不是"，有时为"不都是"，要视"是"的含义而定，此例的"是"，其含义是"都是"，故其否定为"不都是"． 
　　3．3　"非p"必须包含p的所有对立面