理学论文：求解不可微函数优化的一种混合遗传算法

 摘  要  在浮点编码遗传算法中加入Powell方法，构成适于不可微函数全局优化的混合遗传算法。混合算法改善了遗传算法的局部搜索能力，显著提高了遗传算法求得全局解的概率。由于只利用函数值信息，混合算法是一种求解可微和不可微函数全局优化问题的通用方法。

关键词  全局最优；混合算法；遗传算法；Powell方法

1  引言

不可微非线性函数优化问题具有广泛的工程和应用背景，如结构设计中使得结构内最大应力最小而归结为极大极小优化（minmax）问题、数据鲁棒性拟合中采取最小绝对值准则建立失拟函数等。其求解方法的研究越来越受到人们的重视，常用的算法有模式搜索法、单纯形法、Powell方法等，但是这些方法都是局部优化方法，优化结果与初值有关。

近年来，由Holland研究自然现象与人工系统的自适应行为时，借鉴"优胜劣汰"的生物进化与遗传思想而首先提出的遗传算法，是一种较为有效的求不可微非线性函数全局最优解的方法。以遗传算法为代表的进化算法发展很快，在各种问题的求解与应用中展现了其特点和魅力，但是其理论基础还不完善，在理论和应用上暴露出诸多不足和缺陷，如存在收敛速度慢且存在早熟收敛问题[1,2]。为克服这一问题，早在1989年Goldberg就提出混合方法的框架[2]，把GA与传统的、基于知识的启发式搜索技术相结合，来改善基本遗传算法的局部搜索能力，使遗传算法离开早熟收敛状态而继续接近全局最优解。近来，文献[3]和[4]在总结分析已有发展成果的基础上，均指出充分利用遗传算法的大范围搜索性能，与快速收敛的局部优化方法结合构成新的全局优化方法，是目前有待集中研究的问题之一，这种混合策略可以从根本上提高遗传算法计算性能。文献[5]采用牛顿－莱佛森法和遗传算法进行杂交求解旅行商问题，文献[6]把最速下降法与遗传算法相结合来求解连续可微函数优化问题，均取得良好的计算效果，但是不适于不可微函数优化问题。

本文提出把Powell方法融入浮点编码遗传算法，把Powell方法作为与选择、交叉、变异平行的一个算子，构成适于求解不可微函数优化问题的混合遗传算法，该方法可以较好解决遗传算法的早熟收敛问题。数值算例对混合方法的有效性进行了验证。

2  混合遗传算法

    编码是遗传算法应用中的首要问题，与二进制编码比较，由于浮点编码遗传算法有精度高，便于大空间搜索的优点，浮点编码越来越受到重视[7]。考虑非线性不可微函数优化问题(1)，式中  为变量个数，  、  分别是第  个变量  的下界和上界。把Powell方法嵌入到浮点编码遗传算法中，得到求解问题(1)如下混合遗传算法：

             min              (1)

    step1 给遗传算法参数赋值。这些参数包括种群规模m，变量个数n，交叉概率pc、变异概率pm，进行Powell搜索的概率pPowell和遗传计算所允许的最大代数T。

       Step2 随机产生初始群体，并计算其适应值。首先第i个个体适应值取为fi'=fmax - fi，fi是第i个个体对应的目标函数值，fmax为当前种群成员的最大目标函数值，i=1,2,…,m。然后按Goldberg线性比例变换模型[2] 式(2)进行拉伸。

fi'= a×fi'+b （ fi  ³ 0 ）                     (2)

    step3 执行比例选择算子进行选择操作。

    step4 按概率  执行算术交叉算子进行交叉操作。即对于选择的两个母体  和  ，算术交叉产生的两个子代为  和  ，  是[0，1]上的随机数，1   ,    。

    step5 按照概率  执行非均匀变异算子[8]。若个体  的元素  被选择变异，  ，则变异结果为  ，其中  ，

                               (3)

                                (4)

 返回区间[  ,  ]里的一个值，使  靠近0的概率随代数  的增加而增加。这一性质使算子在初始阶段均匀地搜索空间，而在后面阶段非常局部化。  是[  ,  ]之间的随机数，  为最大代数，  为决定非均匀度的系统参数。

    step6 对每个个体按照概率pPowell进行Powell搜索。若个体  被选择进行Powell搜索操作，则以  作为初始点执行Powell方法得  ，若    则把所得计算结果  作为子代  ，否则，若    取  =  ；若    取  =  ，1    。

    step7 计算个体适应值，并执行最优个体保存策略。

    step8 判断是否终止计算条件，不满足则转向step3，满足则输出计算结果。

作为求解无约束最优化问题的一种直接方法，Powell法的整个计算过程由若干轮迭代组成，在每一轮迭代中，先依次沿着已知的n个方向搜索，得一个最好点，然后沿本轮迭代的初始点与该最好点连线方向进行搜索，求得这一阶段的最好点。再用最后的搜索方向取代前n个方向之一，开始下一阶段的迭代。为了保持算法中n个搜索方向是线性无关的，保证算法的收敛性，对替换方向的规则进行改进，在混合法的计算步骤step6中采用文[9]中的改进Powell方法，其求解过程如下：

    (1) 变量赋初值  ，n个线性无关的n个方向  ,  ,…,  ，和允许误差ε>0，令k=1。

    (2) 令  ，从  出发，依次沿方向  ,  ,…,  作一维搜索，得到点  ,  ,…,  求指标m，使得  -  =max {  -  }，令  。若  ε，则Powell方法计算结束，否则，执行(3)。

    (3) 求  使得  =min  ，令  = =  ，若  ，则Powell方法计算结束，得点  ；否则，执行(4)。

    (4) 若  ，令   ，否则令  (  )，然后置  ，转(2)。