经济学论文：论微积分在经济分析中的应用

 摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是 学习经济 学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些 应用 ， 计算 边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。 
关键词：微积分；边际 分析 ；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值 
　　 
　　1 导数在经济分析中的应用 
　　 
　　1.1 边际分析在经济分析中的的应用 
　　1.1.1 边际需求与边际供给 
　　设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q'=f'(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。 
　　1.1.2 边际成本函数 
　　总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C'=C'(Q)．C'(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C''(Q0)个单位。 
　　1.1.3 边际收益函数 
　　总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R'=R'(Q)． 
　　R'(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R'(Q0)个单位。 
　　1.1.4 边际利润函数 
　　利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L'=L'(Q)=R'(Q)-C'(Q).L'(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L'(Q0)个单位。 
　　例1 某 企业 每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。 
　　解：每月生产Q吨产品的总收入函数为： 
　　R（Q）=20Q 
　　L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20） 
　　=-Q2+30Q-20 
　　L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q+30 
　　则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为 
　　L'(10)=-2×10+30=10（千元/吨）； 
　　L'(15)=-2×15+30=0（千元/吨）； 
　　L'(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）； 
　　以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。 
　　显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？ 
　　1.2 弹性在经济分析中的应用 
　　1.2.1 弹性函数 
　　设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0 
　　ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f'(x)xf(x) 
　　在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f'(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。 
　　1.2.2 需求弹性 
　　经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。 
　　对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f'(p)pf(p) 
　　例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。 
　　解：(1)η(p)=-f'(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5； 
　　(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2 
　　η(3)=0.6< 1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。 
　　η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。