小升初奥数数论完全平方数知识点

 一、完全平方数的定义：

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

二、完全平方数特征：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

三、完全平方数的性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

四、例题

例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得

x-45=m^2................(1)

x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明：设这四个整数之积加上1为m，则

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。