必备小升初奥数数论知识点：余数问题

 一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m);

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

五、费尔马小定理：

如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

六、余数问题的例题：

例.两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是().

考点：有余数的除法.

分析：根据关系式：被除数=除数×商+余数可以进行列方程进行解答.

解答：解：设除数是x，

根据：被除数=除数×商+余数，得被除数=12X+26，可列方程，

12x+26+x+12+26=454

13x+64=454

13x=454-64

13x=390

x=390÷13

x=30;

答：除数是30.

点评：本道题目有两个未知量，就是被除数与除数，但是隐含了一个关系式：被除数=除数×商+余数和题目给我们一个等量关系式，通过这些可以列方程进行解决.