2017上海军转行测考试：高频考点分析：同素分堆

 一、模型特征

要运用排列组合的任何一个公式都应该先熟悉它所描述的模型特征。那么，什么叫同素分堆呢?简单来说就是把相同的多个元素，按要求分成不同的份数，每份可能有独立的要求。例如：把10颗相同的糖分给4个小朋友，有多少种分配方式?把20个优秀班干部分给三个班，要求一班至少3个，二班至少4个，三班至少5个。这些都叫做同素分堆问题。特征的核心在于相同元素的分堆问题

二、公式推导

为了更好的理解同素分堆模型，接下来我们详细的把同素分堆的公式进行一个系统的分析和总结，帮助各位考生去理解和运用。

例：把10颗相同的糖果分给3个小朋友，每人至少分一颗，请问有几种不同的分法?

理解这句话本身不难，我们也可以适当的写出一部分10=1+1+8=1+2+7+……，很显然，如果完全依赖于枚举的话肯定会非常的麻烦，因此，我们需要简化这个模型：

首先，我们知道如果把一根木棒锯成三段，只需要两次，那么我们就可以把10颗球简化成一条线：要把10颗球分给三个小朋友，等价于把这根木棒分成三段，也就是在这10个球中插入两根木棒就可以了，而在插入木棒的时候，因为每堆至少分一颗，所以两边是不可以插板子的，并且同一个位置只能插入一根板子。

这种方法就可以分出3+6+1的结论，因此，最终的结果就是

。公式：n个相同的元素分成m堆(n>m)，每堆至少分一个，那么所有的种类是

。

三、题型考察。

对于常见的同素分堆，在考察点上，有几种不同的变式：

1、直接求解同素分堆问题。

例如：20个优秀班干部的名单分给四个班，每个班至少分到一个名额：

。

2、间接求解问题，每班至少3个名额。

例如：20个优秀班干部的名单分给四个班，每个班至少分3个名额。解决这个题目我们就可以先从20个名额中拿出8个名额，给四个班级每个先分配2个名额，剩下的再进行分配的时候至少分一个就可以保证最终每个班次至少分3个了。因此，这个部分的答案就是：

。

3、间接求解问题。

一班至少1个，二班至少2个，三班至少3个。，四班至少4个。我们也可以采取上面类似的模型构造原理，先分别给四个班依次分配0个，1个，2个，3个，然后剩下的14个继续分配，只要保证每个班次至少一个，那么就可以满足条件了，因此最终的结果就是

。

4、间接求解问题。

20个优秀班干部名单分给四个班，可以没有名额。解决这道题目也可以采取间接求解法。先从外面借来4个名额，分配下去每班至少一个，然后再从每个班拿回一个名额，就可以实现至少0个名额了。因此，结论为