数学：外心的性质和定义

外心是指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
 

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

证明

注意到外心到三角形的三个顶点距离相a等，结合垂直平分线性质，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

设O是三角形ABC的外心则∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB

与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。

三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。

三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。

三角形外接圆圆心叫外心。

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

三角形外心的性质：

性质1：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 钝角三角形的外心在三角形外。

性质2：三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。

性质3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0。