数学：函数的单调性与最值

函数的单调性定义

　　函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

　　如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

　　D⊆Q(Q是函数的定义域)。

　　区间D上，对于函数f(x)，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)

　　函数图像一定是上升或下降的。

　　该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

　　注意：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。

　　有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数，如常数函数。

　　函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。

　　在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。

　　如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。