数学：集合知识点

　　1.集合的有关概念。

　　1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4)常用数集：N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);

　　2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ，且 )

　　3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

　　5)补集：CUA={x| x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，则? A ;

　　②若 ， ，则 ;

　　③若 且 ，则A=B(等集)

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

　　④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

　　5.交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

　　③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

　　6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　例题

　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z};对于集合N：{x|x= ,n∈Z}

　　对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合 ， ，则( B )

　　A.M=N B.M N C.N M D.

　　解：

　　当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A)1 B)2 C)3 D)4

　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

　　A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

　　变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴ 变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

　　综①②得：所求集合为{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

　　解答：(1)若 ， 在 内有有解

　　令 当 时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。