2019年成人高考《数学（文）》章节难点习题(2)

●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )

　　A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0

　　2.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”的( )

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

　　C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件

　　二、填空题

　　3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的_________.

　　4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.

　　三、解答题

　　5.(★★★★★)设α，β是方程x2-ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件?

　　6.(★★★★★)已知数列{an}、{bn}满足：bn= ,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.

　　7.(★★★★★)已知抛物线C：y=-x2+mx-1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.

　　8.(★★★★★)p:-2

　　参考答案

　　难点磁场

　　证明：(1)充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.

　　设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.

　　又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0.

　　即有 4+b>2a>-(4+b)

　　又|b|<4 4+b>0 2|a|<4+b

　　(2)必要性：

　　由2|a|<4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.

　　∴方程f(x)=0的两根α，β同在(-2，2)内或无实根.

　　∵α，β是方程f(x)=0的实根，

　　∴α，β同在(-2，2)内，即|α|<2且|β|<2.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x·|x|=-(x|x+0|+b)

　　=-(x|x+a|+b)=-f(x).

　　∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(-x)=

　　(-x)|(-x)+a|+b=-f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.

　　∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.

　　答案：D

　　2.解析：若a=1,则y=cos2x-sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax-sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.

　　答案：A

　　二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.

　　答案：充要条件

　　4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.

　　答案：充分不必要

　　三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p: 结论是q: (注意p中a、b满足的前提是Δ=a2-4b≥0)

　　(1)由 ，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q p

　　(2)为证明p q,可以举出反例：取α=4,β= ,它满足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但q不成立.

　　综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.

　　6.证明：①必要性：

　　设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列.

　　从而bn+1-bn=a1+n· d-a1-(n-1) d= d为常数.

　　故{bn}是等差数列，公差为 d.

　　②充分性:

　　设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n-1)d′

　　∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①

　　bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②

　　①-②得：nan= bn-1

　　∴an= ,从而得an+1-an= d′为常数，故{an}是等差数列.

　　综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.

　　7.解：①必要性：

　　由已知得，线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)

　　由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，

　　所以方程组 *有两个不同的实数解.

　　消元得：x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

　　设f(x)=x2-(m+1)x+4,则有

　　②充分性：

　　当3

　　x1= >0

　　∴方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0

　　因此，抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件3

　　8.解：若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2.

　　则0

　　根据韦达定理： 有-2

　　反之，取m=- <0

　　方程x2+mx+n=0无实根，所以p q

　　综上所述，p是q的必要不充分条件.