2019年成人高考《数学（文）》章节难点解析(10)

难点10 函数图象与图象变换

　　函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.

　　●难点磁场

　　(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.

　　●案例探究

　　[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.

　　命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.

　　知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.

　　错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.

　　技巧与方法：数形结合、等价转化.

　　(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=

　　f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上，而 =a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

　　(2)解：由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4-x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.

　　[例2]如图，点A、B、C都在函数y= 的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).

　　(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;

　　(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.

　　命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.

　　知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.

　　错解分析：图形面积不会拆拼.

　　技巧与方法：数形结合、等价转化.

　　解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B

　　= (A′A+C′C)= ( ),

　　g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= .

　　∴f(a)

　　●锦囊妙计

　　1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线;(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.

　　2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.