2019年成人高考《数学（文）》章节难点习题(7)

一、填空题

　　1.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

　　2.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

　　二、解答题

　　3.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).

　　(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数.

　　(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

　　4.(★★★★★)求证函数f(x)= 在区间(1，+∞)上是减函数.

　　5.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1-x2)= ;

　　(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

　　(1)f(x)是奇函数.

　　(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

　　6.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且

　　f(- )=0,当x>- 时，f(x)>0.

　　(1)求证：f(x)是单调递增函数;

　　(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

　　参考答案

　　难点磁场

　　(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即 +aex.整理，得(a- )

　　(ex- )=0.因此，有a- =0,即a2=1,又a>0,∴a=1

　　(2)证法一：设00,x2>0,x2>x1,∴ >0,1-e <0,

　　∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

　　∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

　　证法二：由f(x)=ex+e-x，得f′(x)=ex-e-x=e-x·(e2x-1).当x∈(0,+∞)时，e-x>0,e2x-1>0.

　　此时f′(x)>0,所以f(x)在[0，+∞)上是增函数.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：令t=|x+1|,则t在(-∞,-1 上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1 上递减.

　　答案：(-∞,-1 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x，

　　∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞ 单调递增，故a>0.又知00,

　　∴b=-a(x1+x2)<0.

　　答案：(-∞,0)

　　二、证明：(1)设-10, >1且 >0,

　　∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0

　　∴ >0,

　　于是f(x2)-f(x1)= + >0

　　∴f(x)在(-1，+∞)上为递增函数.

　　(2)证法一：设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则 且由0< <1得0<- <1,即

　　证法二：设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-10, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.

　　6.证明：∵x≠0,∴f(x)= ,

　　设1

　　∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)

　　7.证明：(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)=

　　=-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

　　(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

　　∵f(x+a)=f[x-(-a)]= .

　　∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= =f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

　　8.(1)证明：设x1- ,由题意f(x2-x1- )>0,

　　∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0,

　　∴f(x)是单调递增函数.

　　(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.