2019年成人高考《数学（文）》章节难点习题(14)

●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　二、填空题

　　2.(★★★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.

　　3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满;这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.

　　4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.

　　三、解答题

　　5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列，设bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…).

　　(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围;

　　(2)求bn和 ，其中Sn=b1+b2+…+bn;

　　(3)设r=219.2-1，q= ，求数列{ }的最大项和最小项的值.

　　6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.

　　(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明);

　　(2)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;

　　(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求 Pn(b).

　　7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：

　　(1)2001年回收废旧物资多少吨?

　　(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?

　　(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地?

　　8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An-2An-1的中点，….

　　(1)写出xn与xn-1、xn-2之间关系式(n≥3);

　　(2)设an=xn+1-xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明;

　　(3)求 xn.

　　参考答案

　　难点磁场

　　解：(1)设f(x)=a(x- )2- ，由f(1)=0得a=1.

　　∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1.

　　(2)将f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得：

　　(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：

　　且t≠0，解得an= [(t+1)n+1-1]，bn= [1-(t+1 n)

　　(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1= |an+1-an|= (t+1)n+1

　　①

　　②

　　设{rn}的公比为q，则

　　②÷①得q= =t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)= [(t+1)2n-1]

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1

　　由|x1-x2|= ，得dn= ，∴d1+d2+…+dn

　　答案：A

　　二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,

　　∴P1(2,2),P2(3,4).∴ =(3,4)

　　∴ 答案：1

　　3.解析：第一次容器中有纯酒精a-b即a(1- )升，第二次有纯酒精a(1- )- ，即a(1- )2升，故第n次有纯酒精a(1- )n升.

　　答案：a(1- )n

　　4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).

　　答案：120000

　　三、

　　5.解：(1)由题意得rqn-1+rqn>rqn+1.由题设r>0,q>0,故从上式可得：q2-q-1<0，解得 0,故0

　　(2)∵ .b1=1+r≠0，所以{bn}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.

　　当q=1时，Sn=n(1+r),

　　,从上式可知，当n-20.2>0，即n≥21(n∈N*)时，Cn随n的增大而减小，故

　　1

　　当n-20.2<0，即n≤20(n∈N*)时，Cn也随n的增大而减小，故1>Cn≥C20=1+ =-4 ②

　　综合①②两式知，对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=-4.

　　6.解：(1)第1位职工的奖金a1= ，第2位职工的奖金a2= (1- )b，第3位职工的奖金a3= (1- )2b，…，第k位职工的奖金ak= (1- )k-1b;

　　(2)ak-ak+1= (1- )k-1b>0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.

　　(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1(b)=(1- )b,f2(b)=(1- )2b,…,fk(b)=(1- )kb.得Pn(b)=fn(b)=(1- )nb,

　　故 .

　　7.解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.

　　(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)

　　(2)S6= =99.2992≈99.3(万吨)

　　∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)

　　(3)由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，

　　∴从1996年到2001年共节约：

　　≈3 平方公里.

　　8.解：(1)当n≥3时，xn= ;

　　由此推测an=(- )n-1a(n∈N)

　　证法一：因为a1=a>0,且

　　(n≥2)

　　所以an=(- )n-1a.

　　证法二：用数学归纳法证明：

　　(ⅰ)当n=1时，a1=x2-x1=a=(- )0a,公式成立;

　　(ⅱ)假设当n=k时，公式成立，即ak=(- )k-1a成立.

　　那么当n=k+1时，

　　ak+1=xk+2-xk+1= 据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N，公式an=(- )n-1a成立.

　　(3)当n≥3时，有xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1

　　=an-1+an-2+…+a1,

　　由(2)知{an}是公比为- 的等比数列，所以 a.