2019年成人高考高起点数学(文)难点系统解析六

难点6  函数值域及求法

 

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.

●难点磁场

(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.

●案例探究

［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.

错解分析：证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.

解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得：S=5000+44 (8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值.此时高：x==88 cm,宽：λx=×88=55 cm.

如果λ∈［］可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得：



又≥,故8－>0,

∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增.

从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值.

答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小.

［例2］已知函数f(x)=,x∈［1,+∞

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.

(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.

知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.

错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.

 (1)解：当a=时，f(x)=x++2

∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，

∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=.

(2)解法一：在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.

设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞

∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，

∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.

解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,

当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.