2019年成人高考高起点数学(文)难点系统解析五

难点5  求解函数解析式

 

求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.

●难点磁场

(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).

●案例探究

［例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.

命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.

知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.

错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.

技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.

解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则x=at.

因此f(t)= (at－a－t)

∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)

(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c

得

并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.

［例2］设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.

命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.

错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.

技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.

解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b

∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.

(2)当－1<x<1时，设f(x)=ax2+2.

∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1

∴f(x)=－x2+2.

(3)当x≥1时，f(x)=－x+2

综上可知：f(x)=作图由读者来完成.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于(    )

A.3 B. C.－ D.－3

2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于(    )

A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1

C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1