湖南事业单位考试数量关系：巧解数学运算——分类分步法

 

　　我们在做数学运算的过程中会发现，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决。由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，具体来讲就是在解决问题时，将问题划分为几种类型，或者将问题分成几个步骤，使条件具体化，对每种情况分别讨论，逐个击破;最后归纳概括，使整个问题获的解决，这就是利用分类分步的思想。

 

　　二、分类的标准：全面、不重复

 

　　一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据据某个标准P，把A划分为子类A1、A2、……An，这时，在A1，A2，……An上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准。讨论某一数学问题时，根据內部规律P，把B划分B1、B2、B3、B4、……Bn，总共n个步骤，只有B1、B2、B3、B4、B3，所有步骤都完成时，事件B才能完成。这时，在B1、B2、B3、B4、Bn上实施对问题的讨论等价于在B上实施对问题的讨论，把P就叫做分步讨论的标准。

 

　　三、分类的原则

 

　　1、同一性原则：同一标准进行分类

 

　　2、互斥性原则：矛盾或上反对原则

 

　　分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项。用数学符号表示：Ai∩Aj=Ø，i≠j，且i，j=1，2，……n;在Ai上讨论问题，肯定不含A2，A3，……，An中的元素;在A2上讨论问题，肯定不含A1，A3，……，An中的元素。

 

　　四、分类分步思想的常见应用

 

　　(一)简单计数

 

　　例1：有面面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，如果用它们去支付2角3分，有多少种不同的支付方法?

 

　　A、5 B、6 C、7 D、8

 

　　解析：1分和2分总钱数为1角2分，则要支付2角3分钱至少需要用3个5分的硬币。当用3个5分的硬时，可取4个1分、2个2分;2个1分、3个2分：4个2分，共3种方法。当用4个5分的硬币时，可取3个1分：1个1分、1个2分，共2种方法。总计5种方法。故选A。

 

　　(二)不定方程

 

　　例2：某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分贷款，有多少种不同的方法?

 

　　A、3 B、4 C、6 D、8

 

　　解折：设需要x枚7分利y枚5分的硬币恰好支付142分货款，由题意可列7x+5y=142，因为5y的尾数只能是0或5，则7x的尾数为2或7，那么x可以取1、6、11、16这四种情况，所以所求方法数为4，放选择择B。

 

　　以上就是对于分类分步的基础讲解，而分类分步问题最常用在排列组合的题型中，我们在下一节做具体的讲解。