数量关系解题技巧：逆向极值

 

　　一、题型特征

 

　　学习题型不仅仅要学习其解法，同样重要的是这种题型的体型特征，我们掌握题型解法的同时更要知道这种题型的体型特征，判断出这种题型然后快速的应用方法求解。逆向极值的题型特征就是：几个量的加和一定求最大量的最小值或者最小量的最大值

 

　　二、解题核心

 

　　解决和定最值问题最重要的思想就是，求某量的最大值其他量尽量小，求某量的最小值其他量尽量大这样的逆向思维。

 

　　三、求解方法

 

　　我们之前都会方程法解决逆向极值，这里就不再赘述了。我们来看另外一种更加新颖，更加简便好用的方法--构造数列。

 

　　首先来看一道例题，班级有7个男生参加学校组织的体能测试，满分100分，若已知7名男生得分为各不相同的整数，若总分是630分，则分数最高的最少得了多少分?

 

　　从题干信息可知本题是7个量的加和一定且为630，所求是最大量的最小值，7个量为互不相等的整数这样的一个逆向极值问题，由求最大量的最小值则其他量应该尽量大，这样这7个数应该是越接近越平均越好，也就是公差为1的等差数列，也就是自然数数列。我们很容易求出这7个数的平均数为630÷7=90，也就是这个自然数数列的中间项为90，即成绩第四的男生为90分，那么根据构造的数列为自然数数列则很容易就能构造出其他同学的成绩如下：

 

　　93 92 91 90 89 88 87

 

　　这样这个题目就解出来了，成绩最高的同学最低考了90分。我们发现这个题中630正好可以被7整除，中间项是一个整数很容易求解，如果不整除呢，比如总成绩为632分，应该如何求解呢?我们继续按照刚才的方法来求解，发现632÷7=90……2，那么我们继续按照90为第四名的成绩构造数列后跟原来的数列也是相同的，但是，不要忘记余数2，我们需要吧2进行分配，分给第几名合适呢?尽量的平均，就只能在第一名和第二名上进行各加1，则第一名的成绩最小值为94分。

 

　　这样这类问题就解决了，大家也应该掌握了这种方法的精髓就是构造数列，找到中间项，如果有余数就合理的分配一下余数，是不是很容易就解决了逆向极值这种问题呢?