盈亏思想解鸡兔同笼问题

 在我们公考行测数量关系中，鸡兔同笼问题是一种比较典型的数学模型，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?"，此种题型采用方程法也可以解出，但采用我们的盈亏思想，解决鸡兔同笼问题会更快，有的题目甚至直接能看出答案。在本篇文章中，我们与中公教育研究与辅导专家一起来学习怎样用盈亏思想解鸡兔同笼问题。

一、基本知识

1. 盈亏思想

盈亏思想即多的量与少的量保持平衡的思想。

例：3人去吃饭AA制，每人平均需要支付100元，现有1人身上未带钱，则此人少付的100元须由另两人共多支付100元。

2. 鸡兔同笼问题

两个事物具有两种不同的属性(头、脚)，已知指标数(脚/头)和指标总数(总头数与脚数，即指标数单位中的分子分母)，求个数(头数)。

例：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?两个事物：鸡和兔;属性：头(只)和脚;指标数：每只鸡与兔脚数;指标总数：头(只)、脚总数，求鸡和兔的个数。

二、盈亏思想解鸡兔同笼方程

【例题1】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。甲教室每次可坐50人，乙教室每次可坐45人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?

A.8 B.10 C.12 D.15

【答案】D。解析：本题有甲乙两个教室，两个属性：次数与人数，指标数："人/次"，指标总数"次、人"，求教室举办次数，属于鸡兔同笼问题。假设全是在乙教室举行，则共举办27×45=1215人次，而实际1290人次，差1290-1215=75人次，因为将甲举办当做乙举办一次，则每次少50-45=5人，共75÷5=15次，故在甲教室举办了15次，选D。

【例题2】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：小瓶有多少个?

A.10 B.20 C.30 D.40

【答案】C。解析：指标数"千克/个"，指标总数"个"、指标总数"千克"之间关系，求小瓶个数。

解法1：假设全是大瓶，则大瓶装4×50=200千克，小瓶装0千克，大瓶比小瓶多装200千克，而实际多20千克，比实际多200-20=180千克，因为将小瓶看成大瓶一次，大瓶比小瓶多装4 -(-2)=6千克，共180÷6=30个，答案选C。

解法2：若减掉5瓶大油瓶所装的油，则大小油瓶所装油质量相等，由于每瓶大小油瓶所装油质量之比为2:1，根据瓶子装的油质量=每瓶油质量×瓶子数量，得大小瓶子数量之比为1:2，共50-5=45个瓶子，根据比例得小瓶数量为30个，答案选C。

总结：解决二者鸡兔问题时，从鸡或兔着手均可，采用假设法，利用盈亏思想，假设鸡得兔，假设兔得鸡。其中的指标数就是"每A有B，即

"，指标总数为"总的A...,总的B..."有时题目中未直接告诉指标总数，而是告诉他们之间的关系，仍可以采用假设法求解。针对一般的鸡兔同笼题的基本关系式是：

兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)

鸡数=(每只兔脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)

而以上主要针对的是二者鸡兔同笼问题，那要是三者能不能用盈亏思想来做呢?下一次我们在一起来看鸡兔同笼问题中的三者问题。

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