技巧：双剑 合璧破容斥

 一、两者容斥：

例：某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?

【中解析】：从题干中得知，“物理竞赛”和“数学竞赛”两个集合存在交叉关系，属于容斥问题，不妨画图分析一下。用封闭曲线表示各个集合的位置关系，集合A表示参加物理竞赛，B表示参加数学竞赛，I表示全班，m表示都没有参加的。如下图，

设都参加的人为x，则有60=30+32-x+20，解得x=22(人)。

由上述解析过程可知，图示法以直观的方式体现数据间的运算关系，公式法则需要与题干中的数据对应，找到等量关系。每种方法都有各自适合的题干，本质都是集合区域间的运算关系。