让学生构建“自己的数学”——《小数的性质》案例

     浙江   张齐华

    师：拿出课前老师发给大家的学习纸（各有两个大小相同的正方形，其中一个被平均分成10份，另一个被平均分成100份）。请大家用水彩笔在两个正方形中分别涂出面积相等的一块，并试着用小数把涂色部分表示出来。

    学生动手涂色，并在涂色处标上相应的小数。随后，教师引导学生在实物投影仪上展示各自的画法。并根据学生的汇报，得出如下的等式：
    0.3＝0.30  0.5＝0.50  0.8＝0.80
    师：观察这些算式，你有什么新的发现？
    学生独立观察，并大组交流。
    生：我发现，等号左边的小数末尾没有0，而等号右边的小数末尾多了一个0。
    师：那它们的大小有没有发生变化？
    生：没有。
    师：那你的发现就是——
    生：小数的末尾添上一个0，小数的大小没有发生变化。
    师：还有哪些同学也有同样的发现？
    同学们纷纷举手。
    师：这是一个重要的发现，谁愿意将它写在黑板上？
    一位学生上前，芹在黑板上写上“在小数的后面添上一个0，小数的大小不变”。
    师：你觉得他这样写，有没有准确地表达了你的发现？
    生：我觉得“后面”这个词不恰当，容易引起误会，最好改成“末尾”比较合适。
    师：能不能举个例子说明？
    生：比如0.4吧，如果只说是在它的“后面”添一个0，可能有同学会误解添成0.04。这样，小数的大小就发生变化了。而说“末尾”的话，就不会产生这样的误会了。
    师：你们认可他（发言的学生）的观点吗？（认可）那谁愿意上来将我们刚才的发现作一下修改？
一学生上前，将结论中的“后面”一词改为“末尾”。

    师：看来，多一份思考，我们的结论也就多一份准确、多一份严密。通过刚才的学习，我们已知道“小数的末尾添上一个0，小数的大小不变”。那今天的学习是不是到此结束了呢？
    生：（略迟疑）我觉得不能。
    师：（故作惊讶）为什么？该有的结论，我们不是都得出来了吗？难道大家还有什么新的问题需要进一步探讨？
    生：刚才我们的发现只是通过给正方形涂色得来的，我认为还比较肤浅。小数的末尾添上一个0，小数的大小究竟为什么不变，我觉得我们还需要作进一步的研究。
    在征得学生广泛认同后，教师将这一问题板书在黑板上：
     “问题1：小数的末尾添上一个0，小数的大小究竟为什么不变？”
    生：另外，刚才我们的研究只是局限在“一个0”上，要是添两个0、三个0甚至更多的0，小数的大小还会不变吗？
    生：如果不是“添”，而是“去”，也就是说小数的末尾去掉0，小数的大小会不会发生变化?
    同样，在征得学生广泛认同后，教师将这些问题依次板书在黑板上：

    “问题2：小数的来尾多添几个0，小数的大小变吗？”
    “问题3：小数的末尾去掉0，小数的大小变吗？”
    师：看来，下面的学习，我们就应该围绕这三个问题进行了。需要提醒大家的是，研究时大家最好能结合具体的例子展开。
    在教师的建议下，学生们纷纷选择自己感兴趣的问题进行思考、交流、研究。教师深入每一学习小组，倾听他们的发言，并对他们的研究作出评点、引导、激励、修正等。在此基础上，教师组织学生展开交流。
    生：我先谈谈第一个问题。以 0.4和 0.40为例：因为 0.4元＝4角， 0.40元＝40分＝4角， 0.4元＝0.40元，所以说 0.4＝0.40。
    生：我是这样想的，0.4表示4个0.l，0.40表示4个0.l和0个0.01，0个0.01表示什么都没有，所以0.4与0.40的大小其实是一样的，也就是说0.4＝0.40。
    生：我们还可以这样想： 0.4＝4/10， 0.40＝40/100＝4/10，所以 0.4＝0.40。
    （注：部分学生在学习“分数的初步认识”时，对分数的基本性质已初步具备感性的认识。）
    师：同学们的交流都非常活跃，也很有道理。看来，任何一个问题，如果我们从不同角度进行思考，往往就会找到不同思路，并获得不同的理解。这才是真正的数学学习。
    生：我们组选择了第二个问题。通过研究，我们一致认为，小数的末尾多添几个0，小数的大小仍然不会发生变化。
    师：能结合具体的例子来谈谈吗？
    生：能。还是以0.4为例，如果添两个0，那就成了0.400。因为0.400＝400/1000＝40/100＝4/10，所以0.4＝0.400。添三个0、四个0，结果还是如此。
    生：我觉得我们还可以这样想。0.400表示4个0.1、0个0.01和0个0.001，0个0.01和0个0.001都表示没有，所以0.400与0.4的大小是一样的，并没有发生变化。
    生：甚至可以说，无论在小数的末尾添上几个0，小数大小都不会发生变化，道理是一样的。
    师：这样看来，我们一开始所获得的结论是不是又要作进一步的修改和完善了？谁愿意上来将它补充完整?
    学生上前，将原来结论中的“添上一个0”改为”无论添几个0”。
    师：还有研究第二个问题的吗？（不少学生举手）你们觉得，探讨这一问题对我们刚刚获得的结论有没有什么影响？为什么?
    生：有影响。如果小数的末尾去掉0，小数的大小同样不变，那我们的结论就应该改为“小数的末尾无论添上或去掉几个0，小数的大小都不变"。
    生：或者说，小数的末尾有没有0，井不会影响小数的大小。
    师：既然这样，那么哪个小组愿意发表对这个问题的看法？
    生：我们小组认为，小数的末尾去掉0，小数的大小并不会发生变化。因为从数的组成上看，小数末尾的0无论多少个，最终都表示什么也没有，所以去掉后不会影响小数的大小。
    生：我们还可以这样想，小数的末尾每去掉一个0，改写成的分数中分子和分母也都将同时少掉一个0，而分数中分子和分母同时去掉一个0，大小是不会发生变化的。
    生：当然，我们还可以这样想。刚才我们探讨“添0”的问题时，是从左往右看的。如果我们从右往左倒过来看，那么小数的末尾“去掉0”，小数的大小不也没有改变吗？
    师：这样看来，刚刚获得的结论是不是又有了新的内涵，谁愿意将它补充上去？
    一学生上来，在“添几个0”后面加上“或者去几个0”。
    师：刚才我们所得到的，正是小数学习中一个非常重要的结论。谁能给这一重要结论取个名字？
    生：小数“添0去0”的性质；关于小数的重要发现；小数的特征；小数的基本性质。
    师：回想刚才的学习过程，我们是如何得到这一重要的结论的？
    生：先得出一个简单的结论，然后不断补充。
    生：当发现原来的结论无法说明新问题，我们又去寻找新的结论。
    生：在学习过程中，不断地发现问题，不断地去解决它，从而使原来的结论逐渐补充完整。
    师：数学学习往往就是这样。我们通常不可能一下子就获得完美的结论，而需要 

          《小学教学设计》2003.4